Реферат на тему:
Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь.
Система
називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо
ввести векторні позначення
,
то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді
а лінійну однорідну систему у вигляді
.
, то виконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі
Коші, і існує єдиний розв’язок
системи рівнянь, що задовольняє початковим даним
1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем
– стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.
Дійсно, за умовою
.
Але тоді і
є розв’язком однорідної системи.
є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком
однорідної системи.
Дійсно, за умовою
Але тоді і
є розв’язком однорідної системи.
є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з
довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.
Дійсно, за умовою
.
Але тоді і
є розв’язком однорідної системи.
є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є
розв’язками системи.
Дійсно за умовою
Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо
А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють
нулю дійсна і уявна частини, тобто
що і було потрібно довести.
.
, то вектори лінійно незалежні.
Визначення 2. Визначник, що складається з векторів
, тобто
називається визначником Вронського.
лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.
.
Або, розписавши покоординатно, одержимо
.
тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто
.
.
.
Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь
. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами
.
, або
,
лінійно залежні, що суперечить умові теореми.
, що і було потрібно довести.
.
Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.
Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи
представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних
розв’язків.
або в координатній формі:
.
лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже,
система алгебраїчних рівнянь
.
Тоді лінійна комбінація
є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.
Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює
кількості рівнянь.
лінійно незалежних розв’язків.
-лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею
розв’язків системи.
Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть
,
то матриця
буде фундаментальною матрицею розв’язків.
Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути
представлений у вигляді
,
.
2. Формула Якобі
– визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського
Оскільки для похідних виконується співвідношення
………………………………………….
то після підстановки одержимо
Розкривши кожний з визначників, і з огляду на те, що визначники з
однаковими стовпцями дорівнюють нулю, одержимо
.
Або
.
Розділивши змінні, одержимо
.
,
,
або
.
Взагалі кажучи, доведення проводилося в припущенні, що система рівнянь
може залежати від часу, тобто
.
Отримана формула називається формулою Якобі.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
