UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваІснування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1460
Скачало263
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого

порядку. Неперервна залежність та диференційованість

 

Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить

невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку

диференціальних рівнянь. Але, щоб використовувати ці методи, треба бути

впевненим в існуванні розв’язку шуканого рівняння та в його єдиності.

 

Зараз значна частина теорем існування та єдиності розв’язків не тільки

диференціальних, але й рівнянь інших видів доводиться методом стискуючих

відображень.

 

, що задовольняє аксіомам:

 

;

 

(комутативність);

 

(нерівність трикутника).

 

).

 

.

 

.

 

. За метрику можна взяти

 

 

.

 

.

 

, що задовольняє умовам.

 

.

 

є оператором стиску, тобто

 

.

 

, вибирається довільно.

 

. Покажемо, що побудована послідовність є фундаментальною. Дійсно

 

 

-разів правило трикутника, отримуємо

 

 

.

 

.

 

. Оцінимо кожний з доданків.

 

.

 

.

 

 

.

 

що суперечить припущенню про стислість оператора.

 

Таким чином, припущення про неєдиність нерухомої точки помилкове. З

використанням теореми про нерухому точку доведемо теорему про існування

та єдиність розв’язку задачі Коші диференціального рівняння,

розв’язаного відносно похідної.

 

визначена в прямокутнику

 

і задовольняє умовам:

 

;

 

, тобто

 

 

, і задовольняє умові

 

 

. Замінимо диференціальне рівняння

 

 

еквівалентним інтегральним рівнянням

 

 

.

 

оператором стиску.

 

 

, чи задача Коші для диференціального рівняння

 

 

також має єдиний розв’язок.

 

. Дійсно,

 

 

.

 

Використовуючи доведену теорему про існування та єдиність розв’язку

задачі Коші розглянемо ряд теорем, що описують якісну поведінку

розв’язків.

 

Теорема. (про неперервну залежність розв’язків від параметру) Якщо права

частина диференціального рівняння

 

 

.

 

Доведення. Оскільки члени послідовності

 

 

.

 

Теорема (про неперервну залежність від початкових умов). Нехай виконані

умови теореми про існування та єдиність розв’язків рівняння

 

 

, що записані у формі Коші, неперервно залежать від початкових умов.

 

як від параметрів.

 

рівняння

 

 

- раз неперервно диференційований.

 

в рівняння, одержимо тотожність

 

,

 

яку можна диференціювати

 

.

 

, то праворуч функція неперервно диференційована. Продиференціюємо її

ще раз

 

,

 

або

 

 

-разів, отримаємо твердження теореми.

 

.

 

алгебраїчне рівняння

 

.

 

.

 

задовольняє умовам:

 

- неперервна по всіх аргументах;

 

існує і відмінна від нуля;

 

.

 

.

 

, то одержуємо

 

.

 

Звідси

 

 

виконані умови теореми існування й єдиності розв’язку задачі Коші.

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ