UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75836
останнє поновлення: 2016-12-03
за 7 днів додано 13

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваСистеми диференціальних рівнянь (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2774
Скачало406
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Системи диференціальних рівнянь

 

Загальна теорія

 

Співвідношення вигляду

 

 

-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

 

Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд

 

 

то вона називається системою в нормальній формі.

 

тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.

 

.

 

можна розв’язати довільну задачу Коші.

 

Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття

інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості)

можна розглядати два визначення інтеграла.

 

стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.

 

повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається

інтегралом системи.

 

Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності

розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям

є функціональна незалежність.

 

 

Теорема. Для того щоб інтеграли

 

системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально

незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний

від тотожного нуля, тобто

 

 

називається першим інтегралом.

 

- функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом

системи диференціальних рівнянь.

 

Власне кажучи загальний інтеграл - це загальний розв’язок системи

диференціальних рівнянь у неявному вигляді.

 

досить, щоб:

 

;

 

у тому ж околі.

 

Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що

перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто

 

 

1. Геометрична інтерпретація розв’язків

 

 

2. Механічна інтерпретація розв’язків

 

- фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної

кривої на фазовий простір.

 

3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи

рівнянь першого порядку

 

Нехай маємо диференціальне рівняння

 

 

Розглянемо заміну змінних

 

.

 

Тоді одержимо систему рівнянь

 

 

4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого

порядку

 

Нехай маємо систему диференціальних рівнянь

 

 

. Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і

її можна диференціювати

 

 

їх значення, одержимо

 

 

Знову диференціюємо це рівняння й одержимо

 

 

Продовжуючи процес далі, одержимо

 

 

 

Таким чином, маємо систему

 

 

- рівнянь

 

 

і одержати

 

 

Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо

 

 

Або, після перетворень

 

,

 

-го порядку.

 

У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь

першого порядку

 

 

-го порядку

 

 

рівнянь зв'язку

 

 

.

 

5. Комбінації, що інтегруються

 

Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне

рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних

рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

 

.

 

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве

рівняння

 

,

 

яке є першим інтегралом системи.

 

-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих

 

перших інтегралів

 

 

і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ