Реферат на тему:
Системи диференціальних рівнянь
Загальна теорія
Співвідношення вигляду
-звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.
Якщо система розв’язана відносно похідних і має вигляд
то вона називається системою в нормальній формі.
тотожно задовольняючих кожному з рівнянь системи.
.
можна розв’язати довільну задачу Коші.
Для систем звичайних диференціальних рівнянь досить важливим є поняття
інтеграла системи. В залежності від гладкості (тобто диференційованості)
можна розглядати два визначення інтеграла.
стала уздовж розв’язків системи, називається інтегралом системи.
повна похідна, якої в силу системи тотожно дорівнює нулю, називається
інтегралом системи.
Для лінійних рівнянь існує поняття лінійної залежності і незалежності
розв’язків. Для нелінійних рівнянь (систем рівнянь) аналогічним поняттям
є функціональна незалежність.
Теорема. Для того щоб інтеграли
системи звичайних диференціальних рівнянь були функціонально
незалежними, необхідно і достатньо, щоб визначник Якобі був відмінний
від тотожного нуля, тобто
називається першим інтегралом.
– функціонально незалежних інтегралів називається загальним інтегралом
системи диференціальних рівнянь.
Власне кажучи загальний інтеграл – це загальний розв’язок системи
диференціальних рівнянь у неявному вигляді.
досить, щоб:
;
у тому ж околі.
Зауваження. Умова Ліпшиця можна замінити більш грубою, але умовою, що
перевіряється легше, існування обмежених частинних похідних, тобто
1. Геометрична інтерпретація розв’язків
2. Механічна інтерпретація розв’язків
– фазовою траєкторією. Фазова траєкторія є проекцією інтегральної
кривої на фазовий простір.
3. Зведення одного диференціального рівняння вищого порядку до системи
рівнянь першого порядку
Нехай маємо диференціальне рівняння
Розглянемо заміну змінних
.
Тоді одержимо систему рівнянь
4. Зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння вищого
порядку
Нехай маємо систему диференціальних рівнянь
. Якщо цей розв’язок підставити в перше рівняння, то вийде тотожність і
її можна диференціювати
їх значення, одержимо
Знову диференціюємо це рівняння й одержимо
Продовжуючи процес далі, одержимо
Таким чином, маємо систему
– рівнянь
і одержати
Підставивши одержані вирази в останнє рівняння, запишемо
Або, після перетворень
,
-го порядку.
У загальному випадку, одержимо, що система диференціальних рівнянь
першого порядку
-го порядку
рівнянь зв’язку
.
5. Комбінації, що інтегруються
Визначення. Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне
рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних
рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.
.
Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве
рівняння
,
яке є першим інтегралом системи.
-вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих
перших інтегралів
і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.
Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є
використання систем у симетричному вигляді.
Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі
можна переписати у вигляді
.
рівнозначні.
Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді
,
називається системою у симетричному вигляді.
При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто
використовується властивість “пропорційності”. А саме, для систем в
симетричному вигляді справедлива рівність
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter