UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваСистеми лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2371
Скачало366
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими

коефіцієнтами

 

Система диференціальних рівнянь вигляду

 

 

- сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими

коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується

 

.

 

1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами

методом Ейлера.

 

Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими

коефіцієнтами.

 

Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора

 

.

 

Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо

 

 

, і перенісши всі члени вправо, запишемо

 

 

Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок

тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

 

.

 

Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі

 

 

і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо

його

 

.

 

-коренів. Розглянемо різні випадки.

 

) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних

рівнянь

 

 

одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи

 

 

.

 

- розв’язків

 

...

 

- лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд

 

.

 

Або у векторно - матричної формі запису

 

,

 

- довільні сталі.

 

. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор

 

 

і, відповідно, розв’язок

 

 

, перетворимо розв’язок до вигляду:

 

 

 

.

 

відповідають лінійно незалежні розв’язки

 

.

 

, то розв’язок системи рівнянь має вигляд

 

.

 

і розв’язуючи систему, одержимо

 

.

 

2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

матричним методом

 

Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з

сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.

Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у

векторно-матричному вигляді

 

.

 

- нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд

 

.

 

. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд

 

.

 

 

.

 

коренів. Розглянемо різні випадки.

 

має вигляд

 

.

 

- незалежних рівнянь

 

.

 

Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо

 

.

 

Або в матричному вигляді

 

.

 

треба розв’язати матричне рівняння

 

,

 

записати у вигляді

 

,

 

, матричне рівняння перетвориться до

 

.

 

- власних векторів, що відповідають різним власним числам.

 

- комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд

 

,

 

а перетворена система диференціальних рівнянь

 

 

Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних

рівнянь має вигляд

 

 

Або в матричному вигляді

 

 

 

лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому

власному числу, має вид

 

 

, розпадається не дві підсистеми

 

.

 

.

 

Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому

пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному

вигляді

 

 

Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд

 

.

 

Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо

 

.

 

Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми

загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ