Реферат на тему:
Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь з сталими
коефіцієнтами
Система диференціальних рівнянь вигляду
– сталі величини, називається лінійною однорідною системою з сталими
коефіцієнтами. У матричному вигляді вона записується
.
1. Розв’язування систем однорідних рівнянь з сталими коефіцієнтами
методом Ейлера.
Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими
коефіцієнтами.
Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора
.
Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо
, і перенісши всі члени вправо, запишемо
Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок
тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто
.
Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі
і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо
його
.
-коренів. Розглянемо різні випадки.
) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних
рівнянь
одержуємо відповідні ненульові розв’язки системи
.
– розв’язків
…
– лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд
.
Або у векторно – матричної формі запису
,
– довільні сталі.
. Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор
і, відповідно, розв’язок
, перетворимо розв’язок до вигляду:
.
відповідають лінійно незалежні розв’язки
.
, то розв’язок системи рівнянь має вигляд
.
і розв’язуючи систему, одержимо
.
2. Розв’язок систем однорідних рівнянь зі сталими коефіцієнтами
матричним методом
Досить універсальним методом розв’язку лінійних однорідних систем з
сталими коефіцієнтами є матричний метод. Він полягає в наступному.
Розглядається лінійна система з сталими коефіцієнтами, що записана у
векторно-матричному вигляді
.
– нова невідома векторна функція. Тоді рівняння прийме вигляд
.
. І система диференціальних рівнянь прийме вигляд
.
.
коренів. Розглянемо різні випадки.
має вигляд
.
– незалежних рівнянь
.
Розв’язуючи кожне окремо, отримаємо
.
Або в матричному вигляді
.
треба розв’язати матричне рівняння
,
записати у вигляді
,
, матричне рівняння перетвориться до
.
– власних векторів, що відповідають різним власним числам.
– комплексний корінь. Тоді відповідна клітка Жордана має вигляд
,
а перетворена система диференціальних рівнянь
Неважко перевірити, що розв’язок отриманої системи диференціальних
рівнянь має вигляд
Або в матричному вигляді
лінійно незалежних векторів. Тоді клітка Жордана, що відповідає цьому
власному числу, має вид
, розпадається не дві підсистеми
.
.
Розв’язок першої знаходиться з використанням зазначеного в першому
пункті підходу. Розглянемо другу підсистему. Запишемо її в координатному
вигляді
Розв’язок останнього рівняння цієї підсистеми має вигляд
.
Підставимо його в передостаннє рівняння. Одержуємо
.
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд суми
загального розв’язку однорідного і частинного розв’язку неоднорідних
рівнянь, тобто
.
.
Частинний розв’язок неоднорідного шукаємо методом невизначених
коефіцієнтів у вигляді
,
– невідома стала. Підставивши в неоднорідне рівняння, одержимо
.
і загальний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд
.
Піднявшись ще на один крок нагору одержимо
.
Продовжуючи процес далі, маємо
.
Або у векторно – матричному вигляді
.
Додавши першу підсистему, одержимо
,
знаходиться як розв’язок матричного рівняння
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter