UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні неоднорідні системи (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1374
Скачало316
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Лінійні неоднорідні системи

 

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

 

 

чи у векторно-матричному вигляді

 

 

називається системою лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

 

1. Властивості розв’язків лінійних неоднорідних систем

 

є

 

- є розв’язком лінійної неоднорідної системи.

 

Дійсно, за умовою

 

.

 

Але тоді і

 

 

є розв’язком неоднорідної системи.

 

є розв’язками лінійних неоднорідних систем

 

,

 

- довільні сталі буде розв’язком лінійної неоднорідної системи

 

.

 

- тотожностей

 

.

 

Склавши лінійну комбінацію з лівих і правих частин, одержимо

 

,

 

буде розв’язком системи

 

.

 

, то окремо дійсна і уявна частини є розв’язками системи.

 

Дійсно, за умовою

 

.

 

Розкривши дужки і перетворивши, одержимо

 

.

 

Але комплексні вирази рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні

дійсні та уявні частини, що і було потрібно довести.

 

Теорема (про загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи).

Загальний розв’язок лінійної неоднорідної системи складається із суми

загального розв’язку однорідної системи і якого-небудь частинного

розв’язку неоднорідної системи.

 

буде розв’язком неоднорідної системи.

 

можна розв’язати довільну задачу Коші

 

.

 

і система алгебраїчних рівнянь

 

 

є розв’язком поставленої задачі Коші.

 

2. Побудова частинного розв’язку неоднорідної системи методом варіації

довільних сталих

 

Як випливає з останньої теореми, для побудови загального розв’язку

неоднорідної системи потрібно розв’язати однорідну і яким-небудь засобом

знайти частинний розв’язок неоднорідної системи. Розглянемо метод, який

називається методом варіації довільної сталої.

 

Нехай маємо систему

 

 

,чи в матричній формі

 

,

 

- вектор з невідомих функцій. Підставивши в систему, одержимо

 

,

 

чи

 

.

 

- фундаментальна матриця, тобто матриця складена з розв’язків, то

 

.

 

.

 

Розписавши покоординатно, одержимо

 

 

визначаються в такий спосіб

 

 

 

 

Звідси частинний розв’язок неоднорідної системи має вигляд

 

.

 

Для лінійної неоднорідної системи на площині

 

 

метод варіації довільної сталої реалізується таким чином.

 

Нехай

 

.

 

Фундаментальна матриця розв’язків однорідної системи. Тоді частинний

розв’язок неоднорідної шукається у вигляді

 

 

Звідси

 

 

І загальний розв’язок має вигляд

 

,

 

- довільні сталі.

 

4. Метод невизначених коефіцієнтів

 

спеціального виду, то частинний розв’язок можна знайти методом

невизначених коефіцієнтів. Доведення існування частинного розв’язку

зазначеного виду аналогічно доведенню для лінійних рівнянь вищих

порядків.

 

, тобто

 

.

 

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

 

.

 

, тобто

 

.

 

, що входять у загальний розв’язок однорідних систем.

 

має вид

 

.

 

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

 

.

 

, то частинний розв’язок шукається у вигляді

 

.

 

.

 

має вигляд:

 

 

, то частинний розв’язок шукається в такому ж вигляді, тобто

 

 

, то частинний розв’язок має вигляд

 

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ