Реферат на тему:
Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків
1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь
-го порядку має вигляд
.
Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то
воно має вигляд
.
, що задовольняє початковим даним
,
.
задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.
, що задовольняє початковим умовам
.
задовольняє умовам:
1) вона визначена і неперервна по всім змінним;
;
.
, що задовольняє початковим умовам
.
можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та
єдиності розв’язків.
2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в
квадратурах.
1) Рівняння вигляду
.
-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді
.
Якщо задані умови Коші
,
то розв’язок має вигляд
2) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
, одержимо
.
Проінтегрувавши його, маємо
.
-порядку
-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді
3) Рівняння вигляду
.
Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді
, одержуємо
. Проінтегрувавши, маємо
.
-порядку
Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо
-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді
4) Нехай рівняння вигляду
можна розв’язати відносно старшої похідної
.
й одержимо
.
Перепишемо його у вигляді
.
Проінтегрувавши, маємо
,
,
або
.
-порядку
і повернулися до третього випадку.
3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях
вищих порядків
Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що
допускають зниження порядку.
-порядку включно
.
,
.
2) Рівняння не містить явно незалежної змінної
.
. Тоді
-порядку.
диференціального рівняння
.
– нова невідома функція. Одержимо
Після підстановки одержимо
.
, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо
-порядку.
4) Нехай ліва частина рівняння
, тобто
.
У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл
.
5) Нехай диференціальне рівняння
,
розписано у вигляді диференціалів
– нові змінні. Тоді одержуємо
,
Підставивши, одержимо
.
Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної
змінної, або повертаємося до другого випадку.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
