UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваНелінійні диференціальні рівняння вищих порядків (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1374
Скачало359
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Нелінійні диференціальні рівняння вищих порядків

 

1. Загальні визначення. Існування та єдиність розв’язків рівнянь

 

-го порядку має вигляд

 

.

 

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то

воно має вигляд

 

.

 

, що задовольняє початковим даним

 

,

 

.

 

задовольняє умовам:

 

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

 

2) задовольняє умові Ліпшиця по всім змінним, починаючи з другого.

 

, що задовольняє початковим умовам

 

.

 

задовольняє умовам:

 

1) вона визначена і неперервна по всім змінним;

 

;

 

.

 

, що задовольняє початковим умовам

 

.

 

можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та

єдиності розв’язків.

 

2. Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

 

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в

квадратурах.

 

1) Рівняння вигляду

 

.

 

-раз одержимо загальний розв’язок у вигляді

 

.

 

Якщо задані умови Коші

 

,

 

то розв’язок має вигляд

 

 

2) Рівняння вигляду

 

.

 

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

 

 

, одержимо

 

.

 

Проінтегрувавши його, маємо

 

.

 

-порядку

 

 

-раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді

 

 

3) Рівняння вигляду

 

.

 

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді

 

 

, одержуємо

 

. Проінтегрувавши, маємо

 

.

 

-порядку

 

 

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо

 

 

-раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді

 

 

4) Нехай рівняння вигляду

 

 

можна розв'язати відносно старшої похідної

 

.

 

й одержимо

 

.

 

Перепишемо його у вигляді

 

.

 

Проінтегрувавши, маємо

 

,

 

,

 

або

 

.

 

-порядку

 

 

і повернулися до третього випадку.

 

3. Найпростіші випадки зниження порядку в диференціальних рівняннях

вищих порядків

 

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь вищого порядку, що

допускають зниження порядку.

 

-порядку включно

 

.

 

,

 

.

 

2) Рівняння не містить явно незалежної змінної

 

.

 

. Тоді

 

 

-порядку.

 

диференціального рівняння

 

 

.

 

- нова невідома функція. Одержимо

 

 

Після підстановки одержимо

 

.

 

, то цей член можна винести і на нього скоротити. Одержимо

 

 

-порядку.

 

4) Нехай ліва частина рівняння

 

 

, тобто

 

.

 

У цьому випадку легко обчислюється, так званий, перший інтеграл

 

.

 

5) Нехай диференціальне рівняння

 

,

 

розписано у вигляді диференціалів

 

 

- нові змінні. Тоді одержуємо

 

,

 

 

Підставивши, одержимо

 

 

.

 

Тобто одержимо диференціальне рівняння, що не містить явно незалежної

змінної, або повертаємося до другого випадку.

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ