UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75838
останнє поновлення: 2016-12-03
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно похідної (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1515
Скачало337
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язанні відносно

похідної

 

1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і

єдності розв’язку.

 

Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно

похідної має вигляд

 

(1)

 

-ої степені.

 

, визначена і

 

(2)

 

називається розв’язком Д.Р. (1), якщо вона після підстановки

перетворює Д.Р. (1) в

 

тотожність

 

 

і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).

 

, визначає розв’язок Д.Р.(1) в параметричній формі, якщо

 

 

 

.

 

, скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не

єдиний розв’язок.

 

Теорема 1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).

 

задовільняє наступним умовам:

 

;

 

;

 

;

 

 

? Без доведення ?

 

, ми знайдемо дійсні розв’язки

 

(3)

 

.

 

має загальний інтеграл

 

(4)

 

.

 

Інколи замвсть співвідношення (4) записують

 

(5)

 

. Всі вони будуть входити в (4) або (5).

 

в вигляді

 

(6)

 

яке називається загальним інтегралом Д.Р. (1).

 

задано в вигляді

 

(7)

 

то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (1)

 

-комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм

розв’язки треба виключати.

 

, заданих в параметричному вигляді

 

(8)

 

будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.

 

Д.Р. (1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його

точці задача Коші має єдиний розв’язок.

 

називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується

єдинність розв’язку задачі Коші.

 

, Д.Р. (1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні

особливими.

 

буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (3).

 

Приклад 1.

 

(9)

 

 

- загальний інтеграл.

 

(мал. 1).

 

 

мал. 1.

 

 

(11)

 

.

 

Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.

 

2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.

 

.

 

, тоді

 

(12).

 

буде необмеженою при умові

 

(13)

 

Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися

з системи

 

(14)

 

Розв’язок системи (14)

 

=0 (15)

 

дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (1) і в кожній точці

порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.

 

Приклад 2.

 

(16)

 

(17)

 

.

 

3. Загальний метод введення параметра.

 

Розглянемо Д.Р. (1). Припустимо, що воно допускає параметризацію

 

(18)

 

.

 

ми з Д.Р. (1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв'язане Відносно

похідної.

 

 

Тому

 

 

– за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.

 

(19)

 

Якщо

 

(20)

 

загальний розв'язок Д.Р. (19), то загальний розв'язок Д.Р. (1) можна

отримати в параметричній формі.

 

(21)

 

Розглянемо деякі частинні випадки:

 

А. Д.Р., розв'язані віднлсносно шуканої функції.

 

Це рівняння має вигляд

 

(22)

 

, тоді

 

(23)

 

Маємо

 

 

Звідки

 

(24)

 

– загальний розв'язок Д.Р. (22).

 

.

 

Б. Випадок, коли Д.Р. розв'язане відносно незалежної змінної.

 

Це рівняння має вигляд

 

(25)

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ