UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗагальні властивості однорідних лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2014
Скачало303
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних

 

рівнянь n-го порядку.

 

1. Властивості лінійного диференціального оператору.

 

Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду

 

(1)

 

1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).

 

При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок

 

.

 

Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).

 

=0, називаються особливими.

 

Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним

 

(2)

 

Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор

 

(3)

 

Властивості оператора L :

 

L (xy)=k *L (y), k = const;

 

);

 

.

 

.

 

f (x) (для диференціального рівняння (2)

 

0).

 

.

 

. (4)

 

2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального

рівняння n–го порядку.

 

(5)

 

Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні

розв’язки.

 

Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,

будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –

дійсна частина, v(x) – уявна частина).

 

. (6)

 

Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.

 

. (7)

 

Приведемо формули для обчислення похідної :

 

; (8)

 

 

справедлива формула

 

; (9)

 

, (10)

 

- поліноми степеня n ;

 

(дійсному або комплексному) справедлива формула

 

. (11)

 

і використання формули (8).

 

(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального

рівняння (5); якщо

 

0, a < x < b .

 

(x).

 

(x)) = 0 .

 

(x)) = 0.

 

Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння

(5).

 

(x), де с – довільна константа , теж розв’язок диференціального

рівняння (5)

 

) = 0.

 

(x) - розв’язки диференціального рівняння (5) , то

 

) = 0.

 

) - розв’язки диференціального рівняння (5), то їх лінійна комбінація

також являється розв’язком

 

= 0.

 

Приклад 2. Записати двохпараметричне сімейство розв’язків.

 

sin(x) - розв’язок .

 

3. Необхідні і достатні умови лінійної незалежності n-розв’язків

лінійного однорідного диференціального рівняння n – го порядку.

 

називаються лінійно незалежними на (a,b) , якщо між не існує

співвідношення виду

 

0 , a < x < b , (13)

 

називають лінійно залежними на (a,b).

 

не було постійним на (a,b).

 

Зауваження 1. Якщо одна із функцій на (a,b) тотожньо дорівнює нулю, то

ці функції лінійно залежні.

 

. Дійсно співвідношення

 

дорівнюють нулю, не може виконуватися для будь-яких x , так як

рівняння (n-1) – го степеня має не більше (n-1) – го коренів.

 

.

 

, так як для будь-якого х справджується співвідношення

 

x – 1 = 0 .

 

Розглянемо необхідні умови лінійної залежності n - функцій .

 

- лінійно залежні на (a,b) , то їх вронскіан W (x) тотожньо дорівнює

нулю на (a,b) . Тут

 

(14)

 

Доведення. Згідно умови теореми

 

, тоді

 

(15)

 

Диференціюємо (15) (n-1)-раз і підставляємо в (14)

 

(16)

 

Розкладаючи визначник (16) на суму визначників, будемо мати в кожному з

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ