Реферат на тему:
Загальні властивості однорідних лінійних диференціальних
рівнянь n-го порядку.
1. Властивості лінійного диференціального оператору.
Лінійним диференціальним рівнянням називається рівняння вигляду
(1)
1,2,…, n , f(x) – задані функції, неперервні на (a,b).
При цих умовах диференціальне рівняння (5.1) має єдиний розв’язок
.
Цей розв’язок визначений і n раз неперервно диференційований на (a,b).
=0, називаються особливими.
Якщо f(x)=0, то диференціальне рівняння (1) називають однорідним
(2)
Для скорочення запису введемо лінійний диференціальний оператор
(3)
Властивості оператора L :
L (xy)=k *L (y), k = const;
);
.
.
f (x) (для диференціального рівняння (2)
0).
.
. (4)
2. Властивості розв’язків лінійного однорідного диференціального
рівняння n–го порядку.
(5)
Для розв’язування такої задачі доцільно знайти деякі комплексні
розв’язки.
Означення 2 Функцію z(x) = w(x) + iv(x), де w(x),v(x) дійсні функції,
будемо називати комплексною функцією від дійсної змінної х (w(x) –
дійсна частина, v(x) – уявна частина).
. (6)
Формули (6) доводяться виходячи з розкладу відповідних множників b раз.
. (7)
Приведемо формули для обчислення похідної :
; (8)
справедлива формула
; (9)
, (10)
– поліноми степеня n ;
(дійсному або комплексному) справедлива формула
. (11)
і використання формули (8).
(x) (12) називається розв’язком однорідного диференціального
рівняння (5); якщо
0, a 4. Формула Остроградського – Ліувілля. (19) і обчислимо його похідну . , Звідки маємо формулу (5.19) . 5. Фундаментальна система розв’язків та ії існування. Означення 5. Сукупність n розв’язків диференціального рівняння (5) визначених і лінійно незалежних на (a,b) називається фундаментальною системою розв’язків . З попереднього випливає , для того , щоб система n розв’язків диференціального рівняння (5) була фундаментальною системою розв’язків необхідно і достатньо , щоб вронскіан цих розв’язків був відмінний від нуля хоч в одній точці інтервалу неперервності коефіцієнтів диференціального рівняння (5) . Всі ці розв’язки повинні бути бути ненульовими . Теорема 3. (про існування ФСР) Якщо коефіцієнти диференціального рівняння (5) являються неперервними на (a,b) , то існує фундаментальна система розв’язків на цьому інтервалі. (a,b) і побудуємо, використовуючи метод Пікара , розв’язки : ; ; ... ------------- // --------------- ... ... ... .... . , отже побудовані розв’язки лінійно незалежні . Теорема доведена . З методу побудови лінійно незалежних функцій випливає, що таких функцій можна побудувати безліч. . . 6. Загальний розв’язок. Число лінійно незалежних розв’язків. - фундаментальна система розв’язків диференціального рівняння (5) , то формула - довільні константи, дає загальний розв’язок диференціального рівняння (5) в області a
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
