UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1956
Скачало381
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами

 

Побудова загального розв’язку лінійного однорідного рівняння.

 

-го порядку зі сталими коефіцієнтами

 

(5.26)

 

.

 

Разом з неоднорідним Д.Р. (5.26) будемо розглядати однорідне Д.Р.

 

(5.27)

 

.

 

Дотримуюись ідеї Ейлера, частинні розв’язки Д.Р. (5.27) шукаємо в

вигляді

 

(5.28)

 

– деякі поки невідомі постійні числа (дійсні або комплексні).

Підставимо (5.28) в (5.27) отримаємо

 

(5.29)

 

, тобто

 

(5.30)

 

Рівняння (5.30) називають характеристичним рівнянням, а його корені

характеристичимичислами Д.Р. (5.27).

 

Розглянемо три випадки побудови лінійно незалежних розв'язків.

 

дійсні і різні.

 

дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формулє

 

 

Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно

 

 

- різні.

 

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

 

(5.31)

 

в області

 

(5.32)

 

– довільні сталі.

 

б) Корені характеристичного рівняння всі різні, але серед них є

комплексні.

 

. Їх приєднання до знайдених дають лінійно залежну систему розв’язків.

Тобто, спряжений корінь не приносить нових дійсних лінійно незалежних

частинних розв’язків.

 

.

 

Приклад 5.6.

 

Знайти загальні розв’язки

 

 

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

 

 

Тоді

 

 

загальний розв’язок.

 

Приклад 5.7.

 

 

 

 

Приклад 5.8.

 

 

 

 

в) Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння.

 

-кратний корінь характеристичного рівяння (5.30), так що

 

(5.33)

 

, продиференціюємо тотожність

 

(5.34)

 

, використовуючи при цьому формулу

 

 

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу

Лейбніца.

 

 

де

 

.

 

Маємо

 

 

Використовуючи (5.33) запишемо

 

 

тобто функції

 

(5.35)

 

.

 

дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

 

лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

 

(5.36)

 

 

Приклад 5.9.

 

Розв’язати Д.Р.

 

 

Запишемо розв’язкі характеристичного рівняння

 

 

Тоді

 

 

загальний розв’язок.

 

Приклад 5.10.

 

 

 

 

Приклад 5.11.

 

 

 

,

 

 

5.3. Знаходження частинного розв’язку лінійно незалежного Д.Р. методом

невизначених коефіцієнтів.

 

можна знайти частинні розв’язкі Д.Р. (5.26) без квадратур.

 

Розглянемо Д.Р. з правою частиною

 

(5.37)

 

-постійне дійсне чи комплексне число.

 

Розглянемо два випадки.

 

не являється коренем характеристичного рівняння. Тоді частинний

розв’язок Д.Р. (5.37) шукають в вигляді

 

(5.38)

 

де

 

(5.39)

 

-ої степені з невизначеними коефіцієнтами. Тобто в цьому випадку

частинний розв’язок має туже аналітичну структуру, що і права частина

Д.Р. (5.37)

 

.

 

Переконаємося, що шукані коефіцієнти визначаються однозначно.

Підставимо (5.38) в (5.37), отримаємо

 

 

Використовуючи вищенаведені формули, знищуємо

 

 

на основі них маємо

 

 

і прирівнюємо коефіцієнти при однакових ступінях

 

(5.40)

 

.

 

, тобто

 

(5.41)

 

. Його шукаємо в вигляді

 

(5.42)

 

– поліном вигляду (5.39).

 

Координати полінома визначаються шляхом підстановки (5.42) в (5.37).

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ