Реферат на тему:
Соболівські простори і узагальнені розв’язки крайових задач
.
, при відповідній нумерації, можна задати рівнянням вигляду
.
.
визначається тією задачею, яка буде розглядатися.
.
множини
кусково нескінченну кількість разів диференційовна поверхня. л
покладемо
.
, поза якої ця функція дорівнює нулеві.
має місце рівність
(1)
.
має місце співвідношення
Тут ми скористалися умовою
За означенням отримуєм, що
.
з нормою
(2)
– гільбертовий.
називається ще соболівським.
за нормою (2).
за нормою
(3)
.
відносно норми (2).
підпослідовність.
функцій.
маємо, що
, одержимо, що
Аналогічно,
Отже,
де
Використовуючи нерівність Гьольдера, одержимо, що
– деяка константа.
буде складатися з неперервних функцій, а, отже,
.
З нерівності
підпослідовність. Таким чином, цілком неперервність вкладення
показана.
Наведем далі один результат про цілком неперервність вкладення
соболівських просторів.
.
.
– ціле невід’ємне число.
– гільбертові з нормами
(4)
(5)
.
Розглянемо крайову задачу
(6)
де
таке, що
.
, яка задовольняє інтегральну тотожність
(7)
де
, яка задовольняє співвідношення (7), називають також узагальненим
розв’язком першої крайової задачі або задачі Діріхле.
Має місце така теорема.
відповідно.
.
.
, оскільки
, для якої
що і доводить існування і єдиність узагальненого розв’язку.
.
Розглянемо далі наступну крайову задачу
(8)
.
.
, яка задовольняє співвідношення
(9)
де
Має місце наступна теорема.
не дорівнює нулеві тотожно. Тоді існує єдиний узагальнений розв’язок
задачі (1.8) і при цьому має місце нерівність
.
Приклад 4. Розглянемо рівняння
і граничні умови
Покажемо, що узагальненим розв’язком цієї крайової задачі є функція
виконується співвідношення
, будемо мати
тобто
що і треба було довести.
.
параболічне рівняння
(10)
з початковою умовою
(11)
В залежності від вигляду граничних умов
(12)
або
(13)
) змішану крайову задачу для рівняння (10).
. Дамо наступне означення.
і виконується співвідношення
(14)
.
Зауважимо, що співвідношення (1.14) можна переписати у вигляді
(15)
.
, виконується співвідношення
(16)
Тут
. Тоді має місце наступна теорема.
Теорема 4. Існує єдиний узагальнений розв’язок змішаних крайових задач
і при цьому для першої крайової задачі виконується нерівність
(17)
а відповідно для другої і третьої крайової задачі виконується нерівність
(18)
.
– узагальнені розв’язки першої і третьої змішаних крайових задач.Тоді
для цих функцій має місце представлення
(19)
і
, тобто функції, які визначаються з співвідношень
(20)
відповідно.
і наведем еквівалентні означення узагальнених розв’язків змішаних
задач.
за нормою
.
, де
ми формально будемо записувати у вигляді
. Тоді цій функції ми можемо поставити у відповідність узагальнену
функцію за правилом
можна визначити похідні за часом за формулою
Введемо простір
Цей простір є гільбертовим з нормою
Крім того, має місце
.
, то має місце формула інтегрування за частинами
(21)
у вигляді інтегралів.
і справедливе співвідношення
(22)
, то вона є узагальненим розв’язком відповідної крайової задачі.
У більш загальному випадку справедлива
, що
, яка задовольняє співвідношення
(23)
, то одержимо умову розв’язності третьої крайової задачі.
PAGE 9
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
