Реферат на тему:
Екстремальні задачі в нормованих просторах
множину лінійних обмежених операторів, які переводять простір X в Y.
такий що
(1)
Означення 2. Диференціалом Гато відображення F в точці x називають
границю
(2)
де збіжність розуміють по нормі простору Y.
називають слабою похідною (або похідною Гато).
Зауважимо, що з співвідношення (2) можна одержати наступний вираз для
обчислення дифференціала Гато
(3)
Можна показати, що з диференційовності за Фреше випливає
диференційованість за Гато, але з диференційовності за Гато не випливає
диференційованість за Фреше.
Має місце наступна
Справедлива наступна
диференційовне за Фреше (Гато) в точці x. Тоді відображення I(x)
диференційовне за Фреше (Гато), причому відповідний диференціал має
вигляд
(4)
і переводить U в Z . Якщо відображення F(x,y) при фіксованому y
диференційовне в точці x (за Фреше, Гато), то його похідна називається
частковою похідною по х відображення F в точці (x,y) і позначається
Fx(x,y). Аналогічно визначається часткова похідна по y Fy(x,y).
Теорема 3 (про повний диференціал). Нехай відображення F(x,y) має в
кожній точці околу U часткові похідні Fx(x,y), Fy(x,y), в розумінні
Гато, які є неперервними відображеннями в U (в розумінні рівномірної
операторної топології). Тоді F диференційовне за Фреше в цій точці,
причому
(5)
і Q – симетричний оператор.
диференційовне (в розумінні Фреше).
то справедлива формула
(6)
називають другим диференціалом Гато.
Приклад 2. Знайдемо другу похідну від функції F(x), яка визначена в
прикладі 1.
будемо записувать у вигляді
(6)
або у вигляді
(7)
Якщо U=X, то задача (6) або (7) називається задачей без обмежень.
Зауважимо, що будь-яка задача на максимум для функціонала F(x) може
бути зведена до задачі мінімізації, якщо замінити функціонал F(x) на
-F(x).
для всіх х з вказаного околу.
Аналогічно визначається точка максимуму для функціоналу F(x). Точки
мінімуму або максимуму називають екстремальними точками.
Покажемо, що справедливо
Твердження 1. Нехай існує диференціал Гато функціоналу F(x) в околі
екстремальної точки x0. Тоді має місце співвідношення
(8)
що і потрібно було довести.
Для нескінченномірних просторів ця умова вже не є достатньою. Приведемо
відповідний
Приклад 3. Нехай в сепарабельному гільбертовому просторі H з базисом
l1, …, lk,… визначений функціонал
Тоді
)
є точкою мінімуму.
(9)
де x0 – довільна точка.
Функціонал F(х) називається напівнеперервним знизу, якщо (9)
виконується коли xn сильно збігається до x0.
Відповідно, функціонал F(х) називається слабонапівнеперервним зверху,
якщо -F(х) є слабонапівнеперервним знизу.
Покажемо, що має місце
непорожня.
Враховуючи співвідношення
що і потрібно було показати.
Розглянемо далі деякі властивості опуклих функціоналів.
які називаються відповідно ефективною множиною і надграфом
функціоналу F(х).
називається власним.
Означення 8. Функціонал F(х) називається опуклим, якщо epi F(x) – опукла
множина.
Для власного функціоналу F(х) має місце
Твердження 2. Для опуклості власного функціоналу F(х) необхідно і
достатньо, щоб для всіх х і y виконувалося співвідношення
(10)
В подальшому ми будемо розглядати лише власні функціонали і тому
співвідношення (10) можна взяти за означення опуклості.
Приведемо один критерій опуклості.
Подібним чином показується, що з опуклості F(х) випливає опуклість f(t).
л
Зауваження 1. Твердження 3 справедливо і для строго опуклих функціоналів
F(х).
і функція f(t) – строго опукла.
Перерахуємо далі деякі властивості опуклих функціоналів.
є опуклим.
Якщо опуклий функціонал F(х) – напівнеперервний знизу, то він є і
слабонапівнеперервним знизу.
Покажемо далі, що справедливе
Твердження 4. Диференційовний за Гато опуклий функцірнал є
слабонапівнеперервним знизу.
Доведення. Зауважимо спочатку, що має місце нерівність
(11)
Ця нерівність випливає з співвідношення
що і потрібно було показати.
Нехай U – опукла множина банахового простору X , F(x) – опуклий
функціонал. Справедливе
є опуклою, причому якщо F(x) строго опуклий, то Е містить не більше
однієї точки.
Тоді наступні три умови еквівалентні:
одержимо умову 2.
Подібним чином доводиться еквівалентність 1) і 3). л
Зауваження. Співвідношення 2) і 3) називають варіаційними нерівностями.
Має місце
=1.
позначено значення лінійного функціоналу l на елементі х.
– опуклі функціонали. Розглянемо наступну задачу
. (12)
– множниками Лагранжа.
одночасно не рівні нулю і такі, що
.
.
та
буде виконуватися нерівність
(13)
є розв”язком задачі.
що суперечить пункту 1 теореми.
Тоді
Ця рівність випливає із співвідношень
в R1 . Розглянемо наступну задачу
Твердження 8. Має місце нерівність
Звідки і отримуємо потрібну нерівність. л
називається сідловою точкою функціоналу R(u,v), якщо
Можна показати, що функціонал R(u,v) має сідлову точку тоді і тільки
тоді, коли
виконується нерівність
(14)
Сформулюємо теорему, яка гарантує існування сідлової точки.
опуклий і напівнеперервний знизу. Тоді R(u,v) має принаймні одну
сідлову точку.
Зауваження. Замість умов обмеженості множин U і V в теоремі 6 можна
вимогати відповідно наступні умови:
Припустимо далі, що Х – дійсний гільбертовий простір. Розглянемо
функціонал F(x) вигляду F(x)=a(x,x)-2l(x), де a(x,x) – квадратична
форма, відповідна до білінійної симетричної неперервної форми a(x,y),
l(x) – неперервний функціонал.
який може бути знайдений із розв’язку варіаційної нерівності
(15)
або нерівності
(16)
Беручи до уваги далі, що DF(x,v)=2[a(x,v)-l(v)], а також твердження
5 і 6 одержимо справедливість сформульованих тверджень.
Наслідок. Нехай U=X. Тоді існує єдиний вектор x, який задовольняє
співвідношенню
(17)
що приводить до умови (17).
Приклад 6. Нехай X=W1(G), де G – обмежена область з кусково-гладкою
границею.
така, що
(18)
тобто існує єдиний узагальнений розв’язок третьої крайової задачі.
Покажемо, що в тому випадку, коли форма a(x,y) може бути не симетричною,
то має місце
Теорема 7 (Лакса-Мільграма). Нехай Х – гільбертовий, сепарабельний
простір, a(x,y) – неперервна білінійна коерцитивна форма на X, l(x) –
неперервний лінійний функціонал. Тоді існує єдиний вектор х такий, що
виконується співвідношення
(19)
Виберемо числа сk з умови
Тоді для c1,…,cn одержимо наступну систему лінійних алгебраїчних
рівнянь
додатньо визначена, а значить ця система має єдиний розв’язок.
задовольняє співвідношенню
(20)
. Нехай існують два вектора х1 і х2, які задовільняють співвідношенню
(20). Тоді
л
– тотожньому перетворенню.
така, що
– визначається як узагальнений розв’язок рівняння
PAGE 6
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
