РЕФЕРАТ
на тему:
“Лінії та лінійні рівняння”
ПЛАН
1. Поняття лінії та лінійного рівняння
2. Система лінійних рівнянь, особливості їх розв’язування
Список використаної літератури
1. Поняття лінії та лінійного рівняння
Пряма лінія – одне з основних понять геометрії. При систематичному
викладі геометрії пряма лінія звичайно приймається за одне з вихідних
понять, яке лише непрямим чином визначається аксіомами геометрії.
Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома
точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, вздовж якої
відстань між двома точками є найкоротшою.
Пряма лінія – алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі
координат пряма лінія задається на площині рівнянням 1-го ступеня
(лінійне рівняння).
Загальне рівняння (повне): Ах+Ву+З=0, де А, В і С – будь-які постійні,
причому А і В одночасно не дорівнюють нулю. Якщо один з коефіцієнтів
дорівнює нулю, рівняння називається неповним.
Лінійне рівняння, рівняння, у яке невідомі входять у 1-му ступені (тобто
лінійно) і відсутні члени, які містять добутки невідомих.
2. Система лінійних рівнянь, особливості їх розв’язування
Певна кількість лінійних рівнянь щодо тих самих невідомих утворюють
систему лінійних рівнянь.
Рішенням системи лінійного рівняння називають набір чисел c1, c2, …,
cn, що звертає всі рівняння в тотожності після підстановки їх замість
відповідних невідомих.
Система лінійних рівнянь може мати як одне єдине рішення, так і
нескінченну безліч рішень (невизначену система); може також виявитися,
що система лінійних рівнянь не має жодного рішення (неспільна система).
Найчастіше зустрічається випадок, коли число рівнянь збігається з
числом невідомих. Одне лінійне рівяння з один невідомим має вид:
ax = b;
рішенням його при а ? 0 буде число b/a. Система двох лінійних рівнянь
із двома невідомими має вигляд:
(1)
де a11, a12, a21, a22, b1, b2— які-небудь числа. Рішення системи (1)
можна одержати за допомогою визначників:
,
;
стоїть в знаменнику, відмінний від нуля. У чисельниках стоять
визначники, які виходять з D заміною в ньому одного стовпця стовпцем
вільних членів b1, b2; у вираженні для першого невідомого x1 заміняється
перший стовпець, а у вираженні для другого невідомого x2 — другий.
Аналогічне правило застосовне і при рішенні будь-якої системи і
лінійного рівняння з n невідомими, тобто системи виду:
(2)
тут aij і bi (i, j = 1, 2, …, n) — довільні числові коефіцієнти;
числа b1, b2, …, bn називають звичайно вільними членами. Якщо
визначник D = ?aij? системи (2), складений з коефіцієнтів aij при
невідомих, відмінний від нуля, то рішення виходить у такий спосіб: k-e
(k = 1, 2, …, n) невідоме xk дорівнює дробу, у знаменнику якої коштує
визначник D, а в чисельнику — визначник, отриманий з D заміною в ньому
стовпця з коефіцієнтів при відшукуванні невідомого (к-го стовпця)
стовпця вільних членів b1, b2, …, bn. Якщо D = 0, то система (2) або
не має жодного рішення, або має нескінченна безліч рішень.
Якщо всі bi = 0 (систему лінійних рівнянь називають у цьому випадку
однорідною), то при D ? 0 рішення системи (2) буде нульовим (тобто всі
xk = 0). У практиці часто, однак, зустрічаються однорідні системи
лінійних рівнянь з числом рівнянь на 1 менше числа невідомих, тобто
системи виду:
(3)
Рішення такої системи неоднозначне; з неї, як правило, можна знайти
тільки відношення невідомих:
x1 : x2 : … : xn = D1 : D2 : … : Dn,
де Dn — помножений на (—1)k визначник, отриманий з матриці
коефіцієнтів aij системи (3) викреслюванням якогось стовпця (це правило
застосовне тільки тоді, коли хоча б один з визначників Di відмінний від
0).
Уперше рішення систем (2) було отримано Г. Кратером у 1750; правило
для перебування рішення цих систем носить дотепер назву правила Крамера.
Побудова повної теорії систем лінійних рівнянь було закінчено тільки
через 100 років Л.Кронекером.
Загальна система m лінійних рівнянь з n невідомими має вид:
(4)
Питання про спільність системи лінійних рівнянь (4), тобто питання про
існування рішення, зважується порівнянням рангів матриць
і
Якщо ранги збігаються, то система сумісна; якщо ранг матриці В більше
рангу матриці Л, то система несумісна (теорема Кронекера — Капеллі).
У випадку спільності системи, її рішення можна знайти в такий спосіб.
Знайшовши в матриці А відмінний від нуля мінор найбільшого порядку м,
відкидають m — r рівнянь, коефіцієнти яких не ввійшли в цей мінор (
рівняння, що відкидаються, будуть наслідками які залишилися, і тому їх
можна не розглядати); у рівняннях, які залишилися, переносять праворуч
той невідомі, коефіцієнти яких не ввійшли в обраний мінор (вільні
невідомі).
Додавши вільним невідомим будь-які числові значення, одержують систему з
r рівнянь з r невідомими, яку можна вирішити за правилом Крамера.
Знайдені значення r невідомих разом зі значеннями вільних невідомих
дадуть деяку частку (тобто одне з багатьох можливих) рішення системи
(4). Можна, не даючи вільним невідомим конкретних значень, безпосередньо
виразити через них інші невідомі. Так виходить загальне рішення, тобто
рішення, у якому невідомі виражені через параметри; даючи цим параметрам
довільні значення, можна одержати всі приватні рішення системи.
Однорідні системи лінійних рівнянь можна вирішувати таким ж способом.
Рішення їх володіють тими властивістями, що сума, різниця і взагалі
будь-яка лінійна комбінація рішень (розглянутих як n-мірні вектори)
також буде рішенням системи. Іншими словами: сукупність усіх рішень
однорідної системи Л. у. утворить лінійний підпростір n-мірного
векторного простору. Систему рішень, що самі лінійно незалежні і
дозволяють виразити будь-яку іншу рішення у виді їх лінійної комбінації
(тобто базис лінійного підпростору), називають фундаментальною системою
рішень однорідної системи лінійних рівнянь.
Між рішеннями системи лінійних рівнянь (4) і відповідної однорідної
системи лінійних рівнянь (тобто рівнянь з тими ж коефіцієнтами при
невідомих, але з вільними членами, рівними нулю) існує простий зв’язок:
загальне рішення неоднорідної системи виходить із загального рішення
однорідної системи додатком до нього якого-небудь приватного рішення
неоднорідної системи лінійних рівнянь.
Великої наочності викладу в теорії лінійних рівнянь можна домогтися,
використовуючи геометричну мову. Залучаючи при цьому до розгляду лінійні
оператори у векторних просторах (розглядаючи рівняння виду Ax = b, А —
лінійний оператор, х и b — вектори), легко встановити зв’язок
розглянутих алгебраїчних лінійних рівнянь з лінійних рівнянь у
безкінечно мірних просторах (системи лінійних рівнянь з нескінченним
числом невідомих), зокрема з лінійних рівнянь у функціональних
просторах, наприклад лінійні диференціальні рівняння, лінійні
інтегральні рівняння.
Застосування правила Крамера при практичному рішенні великого числа
лінійних рівнянь може зустріти значних труднощів, тому що перебування
визначників високого порядку зв’язано з занадто великими обчисленнями.
Були тому розроблені різні методи чисельного (наближеного) рішення
систем лінійних рівнянь.
Список використаної літератури:
Енциклопедія елементарної математики / П. С. Александрова, кн. 2, М. —
Л., 1991.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М. : Наука,
1985. – т.2. – 576 с.
Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 1999. – ч.1. – 437 с.
Рудницький В.Б., Кантемир І.І. Практичні заняття з курсу вищої
математики. – Хмельницький, 2000. – ч.2. – 315 с.
Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Обчислювальні методи лінійної алгебри. –
М., 1983.
PAGE
PAGE 6
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
