РЕФЕРАТ
на тему:
“Визначений інтеграл”
1. Властивості визначеного інтеграла
. Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:
з абсцисами
Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:
, одержимо
.
у попередній властивості.
має місце рівність
Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює
сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця
властивість справедлива для довільного числа доданків.
справедлива рівність
(1)
):
одержимо співвідношення (1).
то за доведеною властивістю можна написати
, звідки
. Тоді
,
.
повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що
носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.
, що
. (2)
то
(3)
Тут кожна різниця
Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і
границя невід’ємна, тобто
, то
2. Наближене обчислення визначених інтегралів, що не беруться через
елементарні функції.
Багато задач науки і техніки приводять до проблеми обчислення
інтегралів, але не всі інтеграли піддаються обчисленню. В даній роботі
разглядається питання наближеного обчислення визначених інтегралів, що
не беруться через елементарні функції. Зокрема, виводяться формули
наближеного обчислення прямокутників, формула трапецій а також формула
Сімпсона.
неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних
інтегралів, або за допомогою первістної, якщо вона виражається в
скінченному вигляді, або ж – минуя первістну – за допомогою різних
прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим
вичерпується вузький клас интегралів; за його межами зазвичай вдаються
до різних методів наближеного обчислення.
В даній роботі можно ознайомитися з основними із цих методів, в яких
наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень
підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених)
значень незалежної змінної.
, ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.
, а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого
прийнята будь-яка із його ординат. Це приводе нас до формули
,
. Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої
ступенчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можно
сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця
наближена формула і називається формулою прямокутників.
, то формула перепишеться у вигляді
. (1)
Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз
цю формулу.
. Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із
ряду трапецій (рис.1.). Якщо, як і раніш рахувати, що
разбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть
.
Мал. 2
Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули
. (2)
Це так звана формула трапецій.
обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем
точності.
Використана література
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. –
Т. 1. – М.: 1988.
Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.
М.: 1989.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter