UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваМногочлени малих степенів. Теорема Сподоли (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1392
Скачало366
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

 

ПЛАН

 

Поставка задачі.

 

Многочлени малих степенів. Теорема Сподоли.

 

Постановка задачі

 

Многосленом називається функція f комплексної змінної, значення f(Z)

якої визначається за формулою.

 

f(Z) = a0Zn+a1Zn-1+…an (1)

 

0.При цьому число n називається степенем многочлена.

 

Числа

 

а0, а1...,an

 

називаються коефіцієнтами многочлена (1).Будемо вважати ці коефіцієнти

довільними комплексними числами.

 

Комплексне число Z0 називається коренем )а також нулем) многочлена f,

якщо

 

f(Z0) = 0

 

Якщо Z1, .., Zm – всі корені многочлена f, то

 

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zm)nm (2)

 

1. Число n1, і=1, ...m називається кратністю кореня Zi. Сума кратності

всіх коренів рівна степеню n многочлена:

 

n1+...nm=n,

 

так, що число всіх коренів, врахованих стільки раз, яка їх кратність,

рівна n. Тому розклад (2) можна переписати в наступному вигляді.

 

f(Z) = a0(Z-Z1)n1…(Z-Zn) (3)

 

де тепер Z1, .., Zn – корені многочлена, кожний із яких повторяється

стільки раз, яка його кратність.

 

Ми будемо цікавитись тільки коренями. Тому будемо вважати, що а0=1.

Проте це порушить симетрію деяких формул. Разом з тим вважати коефіцієнт

а0 довільним теж не добре. Тому вважатимемо коефіцієнт а0 дійсним

додатнім числом:

 

а0 > 0

 

Корені є комплексними числами і якось розташовані на площині комплексної

змінної. Можна, не шукаючи коренів, отримати інформацію про їх

розташування.

 

Для цього є багато такого роду теорем. В кожній з них задається деякий

клас многочленів і деякий клас областей. Кожному многочлену даного класу

співставляється деяка область, і теорема стверджує, що всі корені

многочлена належать цій області.

 

Тому є теореми другого типу. В них задається область і шукаються умови

на коефіцієнти многочлена, при виконанні яких всі корені многочлена

належать цій області.

 

0.

 

Означення 1. Многочлен.

 

0,

 

називається стійким, якщо всі його корені лежать в лівій півплощині По,

тобто якщо всі їх частини від’ємні.

 

Многочлени малих степенів. Т-ма Стодоли.

 

2 дослідження на стійкість тривіальне.

 

0).

 

Многочлен другого степеня

 

a0Z2+a1Z+a2

 

має корені:

 

 

0.

 

0, то хоча б один корінь гарантовано додатній.

 

Цим доведена наступна теорема:

 

Теорема 1. Многочлен першого і другого степеня (з дійсними коефіцієнтами

і додатнім старшим коефіцієнтом а0) тоді і тільки оді стійкий, коли всі

його коефіцієнти додатні.

 

Для стійкості многочленів вищих ступенів умова додатності коефіцієнтів в

будь-якому випадку необхідна.

 

Теорема 2. (теорема Стодоли). Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами

стійкий, то (при ао – 0) всі його коефіцієнти додатні.

 

буде коренем тієї ж кратності. Тому в розклад многочлена на множники

виду Z-Z1 уявні множники будуть входити парами виду (Z-Zі) (Z-Zі).

 

Оскільки

 

,

 

, то звідси випливає, що будь-який многочлен (1) з дійсними

коефіцієнтами допускає розклад виду:

 

f(Z) = a0(Z-х1)…(Z-хr)(Z2+2p1+2psZ+q3)

 

.

 

Так, як будь-який дільник стійкого многочлена, очевидно, стійкий, звідси

і з теореми 1 випливає, що будь-який стійкий многолчен з дійсними

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ