Реферат на тему:
Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Гауса
невідомими (1).
Метод Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих за допомогою
елементарних перетворень:
;
2) заміна одного з рівнянь системи сумою з іншим рівнянням
тієї ж системи, помножимо на деяке число;
.
із усіх рівнянь системи, крім одного.
:
.
. Тоді одержимо
. (2)
.
Тоді рівняння (2) матиме вигляд
де
(3)
,
не буде.
Таким самим способом, приймаючи в ролі ведучого інше рівняння, можна з
усієї решти рівнянь виключити ведуче вибране невідоме. Продовжуючи цей
процес доти, поки кожне рівняння побуде ведучим тільки один раз,
прийдемо до системи рівнянь вигляду
(4)
, то зрозуміло, вони далі в процесі перетворення не беруть участі і
тому виключаються з системи.
.
Якщо описаний процес проводився в іншому порядку, то після його
закінчення члени в рівняннях завжди можна переставити так, щоб система
набрала вигляду (4).
У випадку, коли в процесі розв’язування системи рівнянь де-небудь ліва
частина якогось рівняння перетворюється в нуль, а права-не дорівнює
нулю, то це означає, що система несумісна і тому обчислення треба
припинити.
, то такий базис називається виродженим.
Приклад. Розв’язати методом Гаусса систему рівнянь:
, щоб уніфікувати найменування невідомих. Тоді одержимо
, запишемо систему у вигляді таблиці, цілком зрозумілої:
Приймемо в ролі ведучого перший рядок і в ньому ведучим-перший елемент;
за допомогою його перетворимо в нулі в першому стовпчику всі елементи,
крім першого.
і результати додамо відповідно до другого , третього, четвертого і
п’ятого рядків. В результаті одержимо:
.
У другому рядку всі елементи від’ємні, тому можна весь рядок помножити
на –1. Це не вплине на результат, бо така операція рівносильна множенню
другого рівняння на –1. Аналогічні дії виконані з третім рядком.
Остання таблиця одержана множенням другого рядка на (3), 5-го – на
(–3), четвертого – на ( –1).
Пояснення до останньої таблиці: в ній рівняння мають вигляд
У різноманітних галузях людських знань (наука, виробництво,
економіка, теорія масового обслуговування, тощо) часто виникають задачі,
розв’язування яких приводить до систем лінійних рівнянь, в яких
кількість рівнянь не обов’язково дорівнює кількості невідомих. Невідомих
може бути більше або менше від кількості рівнянь. Для розв’язування
таких систем розроблено ряд методів, у тому числі й за допомогою
визначників. Але найпоширеніший з них – метод Жордана-Гаусса, який не
потребує попередніх досліджень на сумісність або несумісність. У процесі
розв’язування завжди стає ясно, має система розв’язки чи не має, єдиний
її розв’язок чи ні. Оскільки для розв’язування системи рівнянь методом
Гаусса потрібно на порядок менше математичних операцій, ніж при
розв’язуванні за формулами Крамера, то метод Гаусса став основним при
побудові стандартних програм для сучасних комп’ютерів.
Використана література:
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.: Наука. 1980. – 336 с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М.: Наука. 1980.- 432 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и
аналитической геометрии. – М.: Наука. 1980.- 176 с.
4. Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. -К.: Вища школа., 1993.
5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому
анализу. – М.: Высшая школа. 1964.
6. Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ, 1997.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
