.

Шпаргалки з топології

Язык: украинский
Формат: шпаргалка
Тип документа: Word Doc
3 2243
Скачать документ

Шпаргалки з топології

3. Лінії другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола. Їх основні
властивості та зображення.

Еліпс

.

– канонічне рівняння еліпса (1)

Властивості

1)Лінія симетрична відносно координатних осей і поч. координат.

3) Точки перетину з осями

Ці точки називають вершинами еліпса.

. Це означає, що

– параметричне р-ня еліпса.

Гіпербола

Гіперболою називається множина всіх точок площини різниця
відстаней від яких до двох фіксованих точок є величина стала

Властивості

Лінія симетрична відносно координатних осей і початку координат

В смужці –a

4. Зведення р-ня кривої другого порядку до канонічного вигляду. Афінна класифікація кривих 2-го порядку Спрощення рівнянь центральних ліній ІІ порядку за допомогою інваріантів. До типу центральних ліній ІІ порядку належать еліпс, гіпербола і пара прямих, що перетинаються. Центр лінії в останньому випадку є точка перетину цих прямих. Коли задана лінія центральна то, щоб звести її р-ня до канонічного вигляду, спочатку, незміюючи напряму осей координат базису, перенесемо його початок в центр лінії. При цьому в р-ні зникають члени першого порядку відносно змінних. Далі повернемо координатний базис так, щоб його осі сумістилися з головними діаметрами, тобто осями симетрії лінії. Після цього перетворення в р-ні зникне член з добутком змінних, тобто р-ня стане канонічним. Але на практиці недоцільно щоразу виконувати всі ці перетворення. Канонічне р-ня лінії можна дістати обчисленням його коефіцієнтів за допомогою інваріантів. Справді, канонічне р-ня центральної лінії ІІ порядку має три члени: (або два у випадку пари прямих). при квадратах змінних в р-ні лінії ІІ порядку дорівнюють розвязкам його характеристичного р-ня . . Отже, форма і розміри лінії відомі. Щоб знайти положення лінії і накреслити її, треба визначити координати центра і скласти р-ня осей симетрії. Для гіперболічного треба ще скласти р-ня її асимптот. Класифікація лінії ІІ порядку. Розглянемо рівняння 2-го порядку: із варіантами: (1) , щоб осі набули головних напрямків (2) . Для (1) і (2) виписуємо матрицю і визначник (3) ) лінія невироджена, - протилежного–еліпс 4. Зведення р-ня кривої другого п-ку до канонічного вигляду.Афінна класифікація кривих 2-го по-ку - одного знаку – уявний еліпс - різних знаків – гіпербола - різних знаків – дві прямі, що перетинаються - одного знаку – дві уявні прямі, що перетинаються у дійсній площині дві паралельні прямі дві прямі, що співпадають дві уявні паралельні прямі Перенесемо поч. коорд у вершину параболи 6. Метричні, псевдометричні, ультраметричні простори. Приклади. X?R, для якої виконано умови: 1) для довільних x,y є X: d(x,y)?0 – невід’ємність; 2) для довільних x,y є X: d(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y – невиродженість; 3) для довільних x,y є X: d(x,y)=d(y,x) – симетричність; 4) для довільних x,y,z є X: d(x,z)?d(x,y)+d(y,z) – нерівність трикутника; Пара (X,d), де X–довільна множина, а d–метрика на X, називається метричним простором. Значення d(x,y) називають відстанню між точками x та y. Найважливішим метричним простором є множина дійсних чисел R з метрикою, заданою як d(x,y)=|x-y|. Ця ж формула задає стандартну відстань і між елементами N,Z,Q,C.. Формула задається відстань, яку наз стандартною,між точками (x1,x2,…,xn) та (y1,y2,…,yn)множини Nn, Zn, Qn, Cn. На довільній множині X можна задати просту метрику, названу дискретною: Для цієї метрики нерівність трикутника 4) виконана у сильнішому вигляді: 4’) для довільних x,y,z є X: d(x,z)?max{d(x,y), d(y,z)}. Очевидно, при 1) з 4’) випливає 4).Функція d: XxX?R, для якої виконано 1), 2), 3), 4’), називається ультраметрикою, а пара (X,d) – ультраметричним простором. Xn, задана для x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn) так: k=inf{i|xi?yi}. X?R виконано 1),3),4) та слабшу умову твердження 2): 2`) для довільного х є X: d(x,x)=0; то d називають псевдометрикою, а множину X з заданою псевдометрикою –псевдометричним простором. Тривіальний приклад псевдометрики, яка не є метрикою–нульова функція d(x,y)?0. На добутку X1xX2x…xXn (псевдо)метричних просторів(X1,d1), (X2,d2),…,(Xn,dn), (псевдо)метрику можна задати кількома способами, наприклад: ((x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn))=max{d1(x1,y1),d2(x2,y2),…,dn(xn,yn)} Ці формули узагальнюють метрики на Rn. 7. Границя послідовності в метричному просторі. Повнота і поповнення метричного простору. . є безмежно малою. . . Послідовність, яка має границю називається збіжною. Озн5. Простір, в якому кожна фундаментальна послідовність має границю називається повним. . теж є повним. ізометрично вкладається як скрізь щільна множина. . . -повний. . Доведено. 8.Точки дотику множини в метричному та топологічному просторі. Замкнені множини та замикання множини. . . . Доведено. множиною. . : є замкненими множинами; є замкненим; множин є замкненим. . . . містить всі свої точки дотику. . Доведено. . . . Оператор замикання має такі властивості: ; ; ; 9. Внутрішні точки множини в метричному та топологічному просторі. Відкриті множини і внутрішність множини. Межа множини. , якщо кожна її точка є внутрішньою. , якщо вона містить всі свої точки дотику.) аналогічне. є відкритими множинами. є відкритим. множин є відкритим. що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною. множин, які містяться в А. . –топологія на Х наз топологічним простором. Околом точки х в топологічному просторі Х наз відкриту в Х мн-жину, яка містить х. Точку х наз внутрішньою в мн-жині А, якщо вона лежить в А разом з деяким своїм околом. є внутрішньою в А. , рівне А, звідки А – відкрита. , який належить В. Для топологічного простору означення внутрішності та межі множини повторюються. 10.Неперервні відображення метричних просторів. Рівносильність означень за Гейне та за Коші –метрика на Х,називається метричним простором Відображення метричних просторів, яке зберігає відстані, має властивість-неперервність. . , назив розривним в цій точці. . вик: . . , а попереднє– за Гейне або мовою послідовностей. за Коші. за Гейне – отримано суперечність. –неперервне . Видно, що з рівномірної неперервності випливає неперервність. 11. Поняття топології і способи її задання: метрика, база, передбаза. . . . породжується (псевдо)метрикою d. наз. дискретною топологією на Х. . є об’єднанням деякої сім’ї F елементів В. . є (тривіальною) базою для себе. Всі відкриті інтервали (a,b), a

12.Аксіоми відокремленості.Гаусдорфові, регулярні та нормальні простори. . Х х у U . . х U V у . , але не навпаки , наз. гаусдорфовими. U V Околом множини А в топологічному просторі Х наз. будь-яку , яка містить А. . Х Дійсно, нехай топологія на Х задається метрикою d, і точка х не належить замкненій в Х множині F. Доповнення Х\F . Куля відкриті неперетинні і містять відповідно х і F. . . . ), наз. регулярним. Не всі гаусдорфові простори є регулярними. . можна сформулювати іншим способом: для кожного , . не ), то Х наз. нормальним простором. Всі метризовані простори є нормальними 14. Неперервні відображення топологічних просторів. . Відображеня, яке не є неперервним в точці називається розривним в ній. . . O 4 d ” Ae o ?? ?Т?Т?? gd -I0o0oe0o0u0th01&1(1*1,1J1V1X1Z1d1f1v1~1?1‚1„1¤1°1?1?1oaOAoAo?cAo???~?~? o]?ToTN 9p9c9,:,;”;8=@=\>///oaeaeaeaeYaeaeo//NA/////A

gd

gd

„h`„hgd

gd

gd

gd

gd

j

j

j

j

j

j

j

j

j

h

h

h

h

hU6

hU6

hU6

hU6

hU6

j]

hU6

j

??O¬Oe¬o$°AE±f?o?
?O??·”??» 1/4*?oABEE ?’Oe&*?U.U1/4UoeoennnnnoeoeoeoeeoenoeoessoeoenoeoeO

j

j

j

jy

j

gd

gd

e

gd

jK

gd

.

з рівносильних тверджень:

;

.

. ?

відкриті.

– теж відкрита множина.

теж неперервна.

теж є неперервним.

. ?

13. Різновиди зв’язності та співвідношення між ними.

.

).

.

.

.

). Якщо ж таке подання можливе, множину назив. незв’язною.

.

.

.

– незв’язний.

.

з стандартною топологією є зв’язною.

, і вони не можуть одночасно бути замкненими.

з стандартною топологією є зв’язним.

Твердж. Топологічний добуток та букет довільної сім’ї не порожніх
просторів є зв’язним т. і т. тоді, коли всі ці простори зв’язні.

з зв’язного простору, є зв’язним.

незв’язний, що суперечить умові.

, є зв’язним.

, що суперечить припущенню.

– зв’язна.

.

є зв’язним.

– суперечність.

.

є відкритою.

– відкрита.

є відкритими.

, назив. лінійно зв’язною.

є зв’язною.

, яке є зв’язним.

.

.

є відкритою.

– відкрита.

Наслідок. Компоненти лінійної зв’язності локально лінійно зв’язного
простору є відкритими.

.

задовольняє вимоги (1).

є лінійно зв’язним.

– лінійно зв’язний.

Поверхні другого порядку

Прикладами поверхонь другого порядкує такі:

-еліпсоїд,

-однопорожнинний гіперболоїд,

-двопорожнинний гіперболоїд,

-конус,

-еліптичний параболоїд,

-гіперболічний параболоїд,

-еліптичний циліндр,

-гіперболічний циліндр,

9) y2=2px-параболічний циліндр.

Еліпсоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2)Всі точки еліпса розташовуються всередині паралелепіпеда, що
характеризується системою:

3) Перетин з осями

z: x=0, y=0, z=+-c

x: y=0, z=0, x=+-a

y: x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Аналогічно в площині хОz і yOz.

Еліпсоїди обертання відповідно з осями z,x,y.

Одно порожнинний гіперболоїд. Властивості.

1)Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2) Перетин з осями

x=0, y=0, –

y=0, z=0, x=+-a

x=0, z=0, y=+-b

3) Перетин поверхні з площинами

Еліптичний параболоїд. Властивості.

1) Симетричний поверхні відносно площин хОz, yOz, осі z.

2) z?0

3) (0;0;0)-єдина точка перетину поверхні з осями

.

Аналогічно y=p.

Конус. Властивості.

1) Поверхня симетрична відносно координатних осей, координатних площин,
початку координат.

2) (0;0;0)-єдина точка перетину з осями

; при p=0-дві прямі.

.

2 .Пряма на площині. Площина і пряма в просторі. Взаємне розміщення
площин, прямих і площин в просторі.

.

, тоді маємо

– кутові коефіцієнти.

.

умова перпендикулярності прямої і площини.

1 Алгебра в-рів. Поняття базису на площині і в просторі. Скаляр.,
вектор. та мішан. д-ки в-рів.

наз. рівними, якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні
довжини. Два в-ри наз. протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх
однакові, а напрями протилежні. Три в-ри наз. компланарними, якщо вони
лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter

Похожие документы
Обсуждение

Ответить

Курсовые, Дипломы, Рефераты на заказ в кратчайшие сроки
Заказать реферат!
UkrReferat.com. Всі права захищені. 2000-2020