1.Множина дійсних чисел.Упорядкованість та щільність множин.
. Аналогічно можна дати означення менше.
.
.
(1).
Між двома дійсними числами можна вставити безліч раціональних чисел.
. Лему доведено.
.
.
2. Теорема Дедекінда про повноту множини дійсних чисел.
належить верхньому класу то воно в ньому найменше.
– дійсне число.
).
?
.
– найбільше.
. Між ними існує безліч раціональних чисел, які не попали ні в один
клас. Тому таких перерізів немає. Теорема доведена.
– суцільна, немає прогалин, дірок.
3. Грані, точні грані множини. Теорема про існування точних граней.
Властивості точних граней.
.
.
Теорема про існування точних граней: 1) Якщо множина обмежена зверху, то
вона має точну верхню грань.
2) Якщо множина обмежена знизу, то вона має точну нижню грань.
.
. Теорема доведена.
, то
, то
.
.
4. Відповідність, відображення, функція. Способи задання. Види функцій.
f=g(f(x)).Озн 8. Якщо кожному x ставиться у відповідність не одне
значення y, а більше то теж маємо функцію, але вона називається
багатозначною.
Найважливіші способи задання функцій–це задання таблицею, формулою,
графіком, і словесно.
При табличному заданні функції просто виписується ряд значень незалежної
змінної і відповідних їм значень функції. Основний спосіб задання
функцій – задання формулою (аналітичне задання). Графіком функції
називається геометричне місце точок, абсциси яких є значеннями
незалежної змінної, а ординати – відповідними значеннями функції.
Функції поділяються на: 1. Явні і неявні функції:Функція y аргументу x
називається явною, якщо її задання полягає в тому, що прямо вказується
аналітичний відносно x вираз, якому дорівнює функція y. Неявною функцією
y аргументу x називаємо функцію, яка визначається рівнянням, що зв’язує
x і y, і не розв’язаним відносно y.
2. Алгебраїчні і трансцендентні:
Функція значення якої можна дістати, виконуючи над незалежною змінною
скінченнечне число алгебраїчних дій, називається явною алгебраїчною.
Функція називається раціональною, якщо її значення можна дістати,
виконуючи над незалежною змінною конечне число додавань, віднімань,
множень і ділень. Алгебраїчна функція, яка не є раціональною,
називається ірраціональною.. Раціональна функція називається цілою, якщо
для її визначення не застосовується ділення на вирази, що містять
незалежну змінну. Цілі раціональні функції називають многочленами або
поліномами (при цьому одночлен розглядається як окремий випадок
многочлена).. Раціональна функція називається дробово-раціональною, якщо
вона подається дробом, у якого чисельник і знаменник многочлени..
Функція. яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.
3. Однозначні і многозначні: Озн. Функція називається однозначною, якщо
кожному розглядуваному значенню незалежної змінної відповідає одне певне
значення функції. В противному випадку функція називається многозначною.
.Якщо l є періодом, то і ± nl є періодом, n є N.
5. Поняття елементарної функції. Класифікація елементарних функцій.
Озн. Елементарною ф-цією назив. ф-ція, яку можна задати одним
аналітичним виразом, складеним з елементарних ф-цій і сталих за
допомогою скінченного числа арифметичних операцій (додавання, віднімання
і ділення) і скінченного числа операцій взяття ф-ції від ф-ції.
Класифікація елементарних функцій:
Цілі раціональні функції:
многочлен n-го степеня з дійсними коефіцієнтами;
Дробово-раціональні функції: Відношення двох таких многочленів
.
Ці два класи функцій об’єднані в один клас раціональних функцій.
3.Ірраціональні функції. Це функції, в яких, крім вказаних вище дій,
використовується
операція добування кореня.
Раціональні та ірраціональні функції входять до більш загального класу
алгебраїчних функцій. Всі інші елементарні функції називаються
трансцендентними:.
Основні елементарні функції:
, де n – дійсне число:
(?=n – натуральний показник)
).
: Область визначення D(f)=R; Область значення E(f)=R.
(?=n – цілий від’ємний показник)
)
)=R\{0}.
, де a – додатне число, відмінне від 1:
);
).
, де основа логарифма a-додатне число, відмінне від 1
); Область значення E(y)=R;
); Область значення E(y)=R.
;
: Область визначення D(sinx)=R; Область значень E(sinx)=[-1;1].
: Область визначення D(cosx)=R; Область значень E(cosx)=[-1;1].
; Область значень E(tgx)=R.
; Область значень E(ctgx)=R.
.
].
: Область визначення D(arccosx)=[-1;1]; Область значень
E(arccosx)=[0;?].
).
: Область визначення D(arcctgx)=(-?;?); Область значень
E(arcctgx)=(0;?).
Існують і неелементарні функції. Це, наприклад, y=sign x.
6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.
ставиться у відповідність дійсне число.
).
.
Теорема1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.
Доведення.
.
Теорема 2. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Доведення.
, тобто послідовність — обмежена.
.
.
.
називається нескінченно малою , якщо її границя дорівнює нулю.
Теорема 5. Сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є
нескінченно мала послідовність.
Теорема6. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу
послідовність є послідовність нескінчено мала.
.
Доведення.
6. Границя послідовності. Властивості збіжних послідовностей.
Доведення аналогічне доведенню теореми 8.
Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі.
обмежена.
.
Доведення.
нескінченно малі, тоді
.
7. Різні означення границі функції. Їх еквівалентність.
, яка може і не належати до області визначення.
.
.
Еквівалентність означень.
що :
…………………………
EM?????????†??–??????????†??–??????????†???????
.
Отже, наше припущення невірне.
.
.
Теорема. Щоб існувала границя функції в точці, необхідно і достатньо,
щоб існували і були рівні односторонні границі.
8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій. Критерій
існування
границі для послідовностей, функцій.
Теорема про існування границі монотонної послідовності.
.
.
.
.
Доведення.
є границею.
.
II Доводиться аналогічно.
Теорема про існування границі монотонної функції.
.
.
.
Доведення.
є границею.
II. Доводиться аналогічно.
8. Існування границі для монотонних послідовностей та функцій.
Критерій існування границі для послідовностей (критерій Больцано-Коші).
(1)
Доведення
Критерій збіжності для функцій (принцип Больцано-Коші).
.
еквівалентне означення на мові послідовностей.
Достатність випливає із критерію Больцано-Коші для послідовностей.
9. Неперервність функції в точці. Точки розриву. Неперервність
елементарних функцій.
.
.
.
Розриви.
то такий розрив називається усувним.
існує розрив II-го роду.
Приклади.
неперервна в кожній точці.
Добуток скінченої кількості неперервних функцій неперервна функція.
В області функція неперервна в кожній точці.
неперервна завжди, приріст значення функції малий.
.
, функція неперервна як частка неперервних функцій.
10. Основні визначні границі
(**). З формул (*) і (**) випливає потрібна рівність.
.
11. Рівномірна неперервність.Теорема Кантора.Наслідок.
.
.
, то вона рівном. непер. на цьому пром.
.
.
14. Похідні і диференціали вищих порядків.
.
-го порядку.
Загальні формули.
).
.
).
Формули за якими обчислюються диференціали.
:
15. Формула Тейлора. Залишковий член у формі Пеано, Шлеміліха і Роша,
Лагранжа, Коші.
має нескінченну кількість похідних.
– ф-ла Тейлора для многочленна.
Формула Тейлора для довільної ф-ї.
.
=0, то ф-лу Тейлора наз. формулою Маклорена.
.
).
) Дов –но.
ми отримаємо конкретну форму запису залишку.
=
16.Необхідні і достатні умови сталості функції, монотонності функції.
Необхідні і достатні умови сталості функції.
=0 в середині X.
.Необхідність виконується.
.
=const.
Теорему доведено.
Необхідні і достатні умови монотонності функції у широкому розумінні.
.
. Аналогічно для зростаючих.
.Тобто функція не спадна. Теорему доведено.
Необхідні і достатні умови монотонності функції у вузькому розумінні.
була в X монотонно зростаючою (спадною) у вузькому розумінні необхідно
і досить, щоб :
не утворюють інтервал, який повністю міститься в X.
Дов.
Необхідність.
.
Достатність.
, який повністю міститься в X. Це суперечить 2). Тому функція
монотонна у вузькому розумінні. Теорему доведено.
17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.
. Це означає, що графік ф-ї складається з горбів і впадин.
.
є max.
т-а max.
є max.
похідна міняє знак з “ +” на “-“. Тому є max. Теорема доведена.
.
– то max. Якщо k=1, то маємо Т.2.
є min. Якщо
17.Екстремум ф-ї. Необхідна умова, достатні умови.
).
, то в цьому околі підозріла т-а.
18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості.
Точки перегину графіка функції. Умови існування.
. Якщо виконується протилежна нерівність, то функцію називають вгнутою
(випуклою вверх).
Властивості випуклих функцій:
, теж випукла.
–випуклі одночасно вверх або вниз, то їх сума має таку саму випуклість
як і кожний доданок.( Зауваження: Добуток двох функцій може бути і не
випуклим).
буде випуклою.
–вгнута і спадна.
, то вона не може досягати в середині проміжку максимального значення.
виконується строга нерівність, то вона має місце для всіх точок із
проміжку. Якщо виконується рівність для двох точок то вона виконується
для всіх точок.
.
зростала (спадала) (в широкому розумінні).
зростає в широкому розумінні.
.
.
необхідно і достатньо, щоб її графік усіма точками лежав над будь-якою
своєю дотичною (або на ній).
18. Випуклість графіка функції. Необхідні і достатні умови випуклості.
Точки перегину графіка функції. Умови існування.
то одержимо потрібні нерівності.
.
графіка, яка є межею, що відмежовує випуклість вниз від випуклості
вверх називається точкою перегину графіка або функції.
.
.
міняє знак, то є перегин, якщо ж знака не міняє то перегину немає.
немає перегину.
19. Асимптоти графіка функції. Знаходження асимптот.
.
.
(2).
. Теор. доведена.
20. Первісна функція, властивості. Таблиця первісних.
.
.
, може бути представлена в такому вигляді.
. Доведено.
– підінтегральна функція. Звідси випливають такі властивості:
.
. Властивості:
.
.
.
.
.
.Таб.Первісних:
.
21. Заміна змінної та інтегрування частинами.
.
.
проведена вище вказана заміна.
.
.
і т. д., які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.
Повторне використання правила інтегрування частинами приводить до
загальної формули інтегрування частинами.
.
,
,
.
.
. І для інтеграла в лівій частині отримаємо кінцевий результат.
22. Інтегрування раціональних функцій.
Розглядаємо невизначені інтеграли від неперервних функцій. Нас цікавить,
коли вони виражаються через скінчену кількість елементарних функцій.
Випадок, коли інтеграл виражається через скінчену кількість елементарних
функцій називається взяття інтеграла в скінченому вигляді в квадратурах
або інтегрування в скінченому вигляді. Є багато невизначених інтегралів,
які не беруться в скінчених квадратурах.
Нам потрібно виділити класи підінтегральних функцій, щоб інтеграл від
них брався в скінчених квадратурах. 1.Раціональні або
дробово-раціональні функції:
2.Прості дроби
3.Інтегрування правильних дробів
. Розкладемо його на добуток незвідних многочленів над R.
-многочлени, які не мають дійсних коренів.
Правильний нескоротний дріб має вигляд:
Кожний доданок вміємо інтегрувати.
22. Інтегрування раціональних функцій
(2) визначаються однозначно.
Правильний нескоротний дріб представимо у вигляді (1) з коефіцієнтами
(2). Зводимо до спільного знаменника і прирівнюємо P(x) до чисельника
зведеного дробу. Коефіцієнти при однакових степенях х повинні бути
рівні. Прирівнюємо коефіцієнти і знаходимо їх з отриманих рівнянь. Потім
можемо інтегрувати уже суму простих дробів.
,
.Нехай виконується рівність(3).Візьмемо зліва і справа похідну.
.З цієї рівності визначаються коефіцієнти цього многочленна.
22. Інтегрування раціональних функцій
Інтегрування раціональних функцій від тригонометричних аргументів.
23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і
достатні умови інтегровності.
.
.
верхня межа інтеграла.
(за Коші):
і способу поділу відрізка на частини.
Означення границі на мові послідовностей(за Гейне).
.
Визначений інтеграл на мові послідовностей:
.
Необхідна умова інтегровності.
,тобто необхідною умовою інтегровності є обмеженість.
Покажемо це.
.Одержали суперечність. Отже всяка інтегровна функція є обмеженою, але
якщо функція обмежена то звідси не слідує, що вона інтегровна за
Ріманом.
– верхня сума Дарбу
23.Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Необхідні і
достатні умови інтегровності.
Необхідні і достатні умови інтегровності.
.
Доведення.
Необхідність.
. Розкриємо (1):
.
. А це і означає, що
Достатність.
24. Класи інтегровних функцій.
C[a,b]
-коливання.
,то вона рівномір. непер.
. Цей наслідок використ.для доведення.
Ми одержали (*),а це необх. і дост. у.,щоб ф-ція була інтегрована.
і монотонна. Монотон.ф-ції можуть мати скінч.або злічен.кількість
розривів І роду,тому це не підходить до 1-го класу.
????????????? ???????¤?? ? ???? ???????
jd
j‰
gd?Q¤
gd?Q¤
?tOeeoeoTHoTHOeoOeoeoeoEt ha:
hk
hk
j
h?;
?Т?Т???????®? ????
?AN2OzOlOe.UbUzTHeaeaOaaaPa[a¤aaapee?e?iaiRi®iIiUe?/oee/oo/////ooooooaoO
II
h?;
h?;
„a†a?a?a?aOaUaUeaTHaeaia
j
ooocooocoooooo
$
a$gd?LK
.
0
V
X
Z
\
¶
?
TH
a
a
ae
i
?
L
P
R
E
I
I
j
gd!;O
gdX7y
j
,
.
0
2
N
^
?
?
?
¶
?
1/4
a
ae
ae
e
d
f
?
?
?
’
¶
?
TH
a
a
ae
j
j
jy
j‹
jq
jA
Z
j?W
jaT
jrR
juec
jAa
jy^
\
n
jFk
jah
jnf
jFp
ji|
jOz
jHx
jAe„
jae?
jI?
j?†
’
jg›
jR™
—
j?”
jUF
jM!
j1/4?
j
j'?
j?Y
je°
j±®
j
jW¬
j!?
j·
jn?
jUe?
j??
jy1/2
j^»
j1E
jUeAE
jsAe
joA
jyI
j†E
j#O
j5O
jAI
je*
j?a
jEY
j?e
jtae
jKa
jpu
jJo
j›n
jai
y
jk
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
(3) В (3) підстав. (2).
на частини,де
-околі точки,тому:
і буде виконуватись
(*) Ми виділили 3 основні класи ф-цій,які є інтегровані.
25.Властивості означених інтегралів.
, i=0,1,…,n-1;
.Утворимо суму
Цей інтеграл назив.інтегралом Рімана.
Щоб довести необх.і достат.умови і-ння інтеграла Рімана вводять суми
Дарбу:
;
:
.
Якщо до точ.поділу приєднати ще одну точ.,то s-зростає, а S-спадає.
вставимо ще одну точ.поділу.
залиши.без змін крім і=к.
,тому s зростає. Аналогічно для S.
,то
Доведено.
,то множина нижніх сум Дарбу обмежена зверху,то за теор.про існування
точних граней,множина нижніх сум Дарбу має точну нижню грань.
)
25.Властивості означених інтегралів
Необхід.і достат.умова існування інтеграла Рімана
:
;
. Доведено.
26. Інтеграл зі змінною верхньою межею, властивості. Формула Ньютона-
Лейбніца.
, (1) який є функцією від х. Ця функція має такі властивості:
буде неперервною функцією від х в тому ж проміжку.
.
.
, що й треба було довести.
Ми прийшли до такого висновку: для неперервної в проміжку [a, b] функції
f(x) завжди існує похідна; прикладом її є визначений інтеграл (1) зі
змінною верхньою межею.
Основна формула інтегрального числення (Формула Ньютона-Лейбніца).
. (А) – це основна формула інтегрального числення.
Отже, значення визначеного інтеграла визначається в різниці двох
значень, при х =b і при x=a, будь-якої первісної функції.
.
27. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла,
довжини кривої)
.
, де Р(х)-площа перерізу, зробленого в точці х площиною,
перпендикулярною до ОХ.
27. Застосування означеного інтеграла(обчислення площ, об’єму тіла,
довжини кривої)
29 Числові ряди. Збіжність. Необхідна умова збіжності. Необхідна і
достатня умова збіжності.
Позначимо через
го члена.
Теорема
Якщо, збігається ряд (1), то збігається і будь – який його залишок.
Навпаки, із збіжності залишку (2) випливає збіжність ряду (1).
:
тобто збігається ряд (1). Теорему доведено.
Необхідною і достатньою умовою збіжності будь – якого числового ряду є
збіжність до нуля його залишку .
, то ряд збіжний.
Необхідна умова збіжності.
збіжного ряду прямує до нуля.
. Зауважимо, що з того що загальний член прямує до нуля не слідує, що
ряд збіжний.
Критерій Больцано - Коші збіжності числового ряду.
30 Ознаки збіжності додатніх рядів
Нехай дано два ряди з додатніми членами
(2)
, і коли ряд (2) збігаєт., то ряд (1) також збігаєт.
прямує до границі.
, і ряд (2) розбіж., то ряд (1) також розбіжн.
, тобто ряд (1) розбіжн. Що й треба було довести.
,
ряд може бути як збіжн., так і розбіжн.
буде справедлива рівність
ще залишалося меншим 1. Але тоді на підставі загальної ознаки
Даламбера робимо висновок, що рядзбіг.
матиме місце нерівн.
ще залиш. більшим від 1; на підставі загальної ознаки Даламбера робимо
висновок, що ряд розбіг.
, для якого
нічогог не можна сказати про збіжн. ряду.
30 Ознаки збіжності додатніх рядів
,
може бути як збіжним, так і розбіжним. Доведення цілком таке саме,
як і в ознаці Даламбера.
:
то ряд збігається, коли невласний інтеграл
збігається, і розбігається, коли цей інтеграл розбігається.
– довільне ціле додатне число(мал. 1)
Площа її вимірюється інтегралом
. Площа першої фігури менша за площу даної криволінійної трапеції,
площа другої – більша за неї, тобто маємо
Звідси дістаємо дві нерівності:
(*)
(**)
знаходимо:
як зростаюча і обмежена ф–я має границю і, отже, ряд збіг.
також необмежено зростає, тобто ряд розбігається.
31. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості.
(2)
Озн. Якщо разом з рядом (1) збігається ряд складений з абсолютних
величин членів даного ряду, то ряд (1) наз. абсолютно збіжним; якщо ряд
(1) збігається , а ряд складений з абсолютних величин розбігається, то
ряд (1) наз. не абсолютно(умовно) збіжним.
Теорема Коші(про абсолютну збіжність): Якщо збігається ряд (2), то
збігається (1).
.
.
. Теорема доведена.
На абсолютну збіжність ряди перевіряють так:
, то ряди (1) і (2) – розбіжні.
- ознака Раабе;
Можна використовувати теорему Больцана-Коші. Але якщо ми показали, що
ряд (2) розбіжний, то треба досліджувати за критерієм Больцана-Коші
через залишок, або через означення збіжності ряду.Над збіжними рядами
можна виконувати такі операції, як додавання, віднімання, множення на
число, множення двох рядів:
1.якщо ряд збігається абсолютно, то ряд, який складений з тих самих
елементів, але в іншому порядку, також збігається абсолютно до того
самого числа.
також збіжний.
також абсолютно збіжний.
.
ряду, складеного з абс. величин членів ряду.
31. Абсолютно і умовно збіжні ряди. Властивості
.Звідки отримаємо потрібну рівність.
5. для абсолютно збіжних рядів має місце переставний, груповий і
розподільний закони.
Для умовно збіжних рядів переставний закон не має місця.
- від’ємні члени ряду (1).
(4) розбіжні.
.
, тобто частинна сума ряду (2) обмежена, що означає, що ряд (2)
збігається. Отже, ряд (1) збігається абсолютно. Отримали суперечність.
отримаємо протиріччя.
Отже, ні один з рядів (3), (4) не збігаються, а отже дані два ряди є
розбіжні. Лема доведена.
Для умовно збіжних рядів справедлива теорема Рімана.
.
Для дослідження умовно збіжних рядів на збіжність використовують ознаку
Абеля і Діріхле.
.
збігається.
32. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій
рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.
.
.
.
повинні бути критерії рівномірної збіжності.
.
.
.
(***)–необхідна і достатня умова, щоб була рівномірна збіжність.
32. Функціональні ряди і послідовності. Рівномірна збіжність. Критерій
рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштрасса, Абеля, Діріхле.
.
. Ще є дві ознаки рівномірної збіжності. Це ознак Абеля і Діріхле, але
тут ряди збігаються рівномірно, але не абсолютно.
.
обмежені. Аналогічно доводиться ознака Діріхле як для числових рядів.
.
34. Почленне інтегрування і диференціювання.
(2).
що і доводить (3).
.
(5).
. Таким чином, похідна від суми ряду рівна сумі похідних ряду.
35. Ряд Тейлора. Розклад в ряд Тейлора
Означення. Степеневим рядом називається функціональний ряд
,то від самої змінної х).
називаються коефіцієнтами степеневого ряду.
-го порядку включно, то:
так:
.
Означення. Ф-я, яка в деякому інтервалі може бути подана своїм збіжним
рядом Тейлора, наз. аналітичною в цьому інтервалі.
Розглянемо декілька важливих прикладів розкладів ф-й в ряди Тейлора:
? Маємо
,
. Отже,
.
повинен прямувати до нуля.
Отже, внаслідок довільності М ряд
Збігається до будь-якого х, тобто на всій осі Ох. Цей ряд наз.
експоненціальним. ?
36. Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Повторні і
подвійні границі.
.
, приводять до цілих многочленів таких виглядів:
- це ціла раціональна і дробова раціональна функції.
.
.
.
36. Функція багатьох змінних. Границя, неперервність. Повторні і
подвійні границі
.
- як приріст функції, можна сказати, що функція неперервна , якщо
нескінченно малим приростам незалежних змінних відповідає нескінченно
малий приріст функції.
.
.
;
, яка дорівнює подвійній границі.
.Доведено.
. В такому випадку, обидві повторні границі рівні.
37 Частинні похідні. Похідна за напрямом. Градієнт. Рівність змішаних
частинних похідних.
. Виникає питання чи всі ці змішані похідні рівні. Виявляється, що
змішані пох. одного і того самого порядку не завжди рівні
Достатні умови рівності змішаних частинних похідних: якщо змішані
похідні по х і по у неперервні, то вони співпадають.
.
.
37 Частинні похідні. Похідна за напрямом. Градієнт. Рівність змішаних
частинних похідних.
змінних і змішаних похідних вищих порядків.
Похідна за напрямом
швидкість зміни ф-ї.
Ця функція характеризує «швидкість зміни» вказаної функції в точці M0
за напрямком l.
.
максимальна, за яким напрямом швидкість ф-ї найбільша.
називається градієнтом величини f та його позначають g=gradf. З формули
похідної по напрямку випливає, що градієнт є вектор якій за численним
значенням та за напрямком характеризує найбільшу швидкість зміни
величини f..
.
38. Диференційовність ф-ції багатьох змінних. Достатні умови
диференційовності.
(1)
(2)
. Покажемо аналогічну рівність для функції багатьох змінних.
не залежно одне від другого.
.
Отже з існування похідних не випливає (3) є достатні умови
диференційовності.
не залежним одним від другого.
38. Диференційовність ф-ції багатьох змінних. Достатні умови
диференційовності
. Додамо і віднімемо такі значення функції, щоб мати часткові прирости,
по одній змінній
, про який йде мова в теоремі. Будемо мати:
(4)
. За теоремою Лагранжа.
(5)
(6)
Підставимо (6) у (4)
.
(3) доведено.
.
.
41. Степеневі ряди в комплексній площині. Теорема Коші-Адамара.
це відбувається дає теорема Коші-Адамара.
).
(2). Можуть появитися наступні випадки:
.
.
. Теорема доведена.
називається радіусом збіжності.
42. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови
збіжності.
Критерій Коші збіжності невласного інтегралу першого роду:
Критерій Коші збіжності невласного інтегралу другого роду:
збіжний
Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів першого роду
(1)
(2)
Якщо збіжний (1) і збігається(2), то (1) - абсолютно збіжний, а f(x)
абсолютно інтегровна.
(2).
.
(2) збіжний.
SYMBOL 196 \f "Symbol" \s 8 Д
Абсолютна та умовна збіжність невласних інтегралів другого роду
(3)
(4)
Якщо для збіжного (3) збігається(4), то (3) - абсолютно збіжний, а f(x)
абсолютно інтегровна.
(4).
Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів першого роду
)
42. Невласні інтеграли 1 і 2 роду. Критерій збіжності. Достатні умови
збіжності.
) збіжний.
SYMBOL 196 \f "Symbol" \s 8 Д
) збіжний.
. SYMBOL 196 \f "Symbol" \s 8 Д
Ознаки Абеля та Діріхле для невласних інтегралів другого роду
)
) збіжний хоча б умовно.
) збіжний хоча б умовно.
43. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні
умови екстремуму
функції двох змінних.
має місце власний максимум(мінімум); в протилежному випадку
максимум(мінімум) називається невласним.
Для позначення максимуму і мінімуму використовують загальний термін
екстремум.
то всі ці частинні похідні дорівнюють нулю, так що перетворення в нуль
частинних похідних першого порядку є необхідною умовою існування
екстремуму.
всі інші частинні похідні дорівнюють нулю.
. Такі точки називаються стаціонарними.
Як і у випадку однієї змінної, в стаціонарній точці не обов’язково є
екстремум. Тому розглянемо умови, достатні для існування екстремуму в
стаціонарній точці.
43. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова. Достатні
умови екстремуму
функції двох змінних.
має мінімум.
=0 для дослідження потрібно використовувати похідні вищих порядків.
.
.
.
наз загальним інтегралом.
.
( це ДР, яке явно не містить незалежної змінної).
44_3. Однорідні рівняння
(1)
– є однорідними вимірів 0 і 3 відповідно.
.
. (2)
(3) називається однорідним, якщо функції M і N є однорідними одного і
того ж виміру m, (m – довільне).
, де ( - деяка функція виміру 0.
-нова функція.Підст. (4) в (3).
.Якщо ці розв’язки містяться в загальному, то вони будуть частинними.
Найпростіші диференціальні рівняння, звідні до однорідних
До однорідних рівнянь зводяться рівняння вигляду
(1), де функція f – неперервна; aj, bj, cj ( R. Розглянемо 3
випадки:
.
, ( і ( – нові змінні, ( і ( – довільні числа.(2) в (1):
.
a1=ka2; b1=kb2(3)
44_4 Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.
(2).
(3).
. Отже, виконується (3).
, що після множення на неї обох частин рі-ня (1) це рі-ня стане РПД.
(2) є РПД в деякій області G.
.
(с=1);
;
.
44_5 Диференціальні рівняння 1 порядку: Лінійні рівняння 1 порядку.
Однорідні і
неоднорідні. Рівняння Бернуллі.
0 то (1) наз. лінійним неоднорідним.
3 способи розв’язування лінійних рівнянь: 1) метод Лагранжа:
.
2) метод Бернуллі або метод підстановки:
.
3) метод інтегрувального множника, м. Ейлера:
- загальний розв’язок.
; 3) вип. 0
44_6 Рівняння, не розвязані відносно похідної. Основні поняття, задача Коші. називається розв’язком рівняння (1) якщо : (3). в досить малому її околі проходить стільки інтегральних кривих, скільки напрямків поля визначає рівняння (1) в цій точці. задовольняє такі три умови: , причому цей розв’язок задовольняє умови (2), (3) . Отже знайдений розв’язок є шуканим розв’язком рівняння (1), причому він задовольняє умови (2), (3). Рівняння степеня n. (2). визначають загальний інтеграл рівняння (1), який можна записати у вигляді , в якій інтегральні криві дотикаються.44_6 Рівняння, не розвязані відносно похідної. Неповні рівняння. — загальний інтеграл рівняння (6). (9). . Рівняння (10) визначає загальний інтеграл рівняння (9). — ЗР Рівняння, які не містять незалежної змінної. (11) ю Узагальнено однорідні рівняння. відповідно. Тобто . 45. Лінійні диф. р-ня ІІ-го пор. . Геометрично заг. розв. являє собою нескінченну сукупність інтегральних кривих, яка залеж. від двох незал. параметрів. , то р-ня (1) називається однорідним лін. р-ням., інакше ( неоднорідним лін. р-ням. . Знаючи, два частині незал. розв’язки р-ня (1), легко отримати загальний розв’язок цього р-ня. . . буде розв’язком р-ня (6) -го порядку. . . (3) . . ). ). Підставляємо: . . . – рівняння зі сталими коефіцієнтами. . . . . .
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
