Реферат на тему:
Застосування функцій багатьох змінних, визначеного інтегралу,
диференціальних рівнянь в економіці
Застосування функцій багатьох змінних в економіці
Одним із базових понять економічної теорії є функція корисності, що
виражає корисність придбання т різновидностей товарів. Часто вона
використовується у формах:
– логарифмічна функція;
– функція постійної еластичності.
Функція Кобба – Дугласа – виробнича функція, яка характеризує залежність
об’єму випуску продукції Q від затрат капіталу К і трудових ресурсів.
Для випадку двох змінних вона має вигляд
де А>0 – параметр продуктивності конкретно взятої технології, 00 в точці М, тому в
ній функція досягає максимуму, який рівний
Пmax = П(2;4)=28у.о.
Задача цінової дискримінації
Необхідно розподілити однорідний товар на різні ринки з різним попитом,
щоб максимізувати загальний прибуток.
Оскільки, еластичність попиту на різних ринках неоднакова, то на товар
встановлюються різні ціни, що веде до так званої цінової дискримінації.
Загальна постановка задачі. Нехай x1, x2…,xт кількості однорідного
товару який продається на т ринках за цінами рі.(хі), тобто ціна на
кожному ринку залежить від кількості пропонованого товару. Припустимо,
що функція затрат залежить від загальної кількості товару
С = S (x1 + х2+…+хт).
Тоді загальний прибуток
П = х1 р1+х2 р2+…+xт рm – S(x1+x2 +…+xт) (2)
Умова екстремуму
веде до системи рівнянь, для визначення стаціонарних точок за умови
хі>0, і=1,2,…,т
рі (хі)+хі.р’і.(хі)-S’(х1+х2+…+хт) = 0, і=1,2,…,т. (3)
Проаналізуємо дохід Ri = хi рi(хi) на кожному ринку. Граничний дохід
де Еi – еластичність попиту на і-тому ринку. Так як Еi – звичайно
від’ємна величина, останню рівність можна переписати в зручній формі
. Із рівняння (3), маємо
Звідки і виводиться умова “цінової дискримінації”: чим менша за
абсолютною величиною еластичність даного ринку, при даній кількості
товару, тим вища має бути ціна на товар на цьому ринку за умови
максимального прибутку.
Приклад 2. Нехай маємо три ринки з кількістю товару для продажу х1, х2,
х3 з цінами на товар відповідно рі =аі – bi хi , так що дохід Ri = хi
(аi – bi хi). Нехай функція затрат виражається формулою
П = x1 (a1 – b1 x1) + х2(а2 – b2х2) + х3(а3 – b3х3) – А – В (x1+ х2 +
х3).
Гессіан функції прибутку рівний
Оскільки bi> 0, то за критерієм Сільвестра (проходить зміна знаку в
головних мінорах , починаючи з мінуса) отримана точка є точкою мінімуму.
Для конкретизації, візьмемо:
а1 =25, а2 =45, а3 =85, b1 =5, b2=4, b3= 10, А=10, В=5.
Отримаємо розподіл товарів за ринками
х1 =2, х2=5, х3=А при цінах відповідно р1=15, р2=25, р3=45.
і-го ринку, тим вища має бути ціна товару на цьому ринку. Максимальний
отриманий прибуток Пmax = 270.
Просте застосування визначеного інтегралу в економіці
В економічних задачах змінні, як правило, змінюються дискретно.
Застосування визначеного інтегралу вимагає ідеалізувати математичну
модель задачі, вважаючи, що незалежні змінні і функція змінюються
неперервно. Наведемо два прості приклади застосування визначеного
інтегралу.
Приклад 1. Знайти денний виробіток Р за робочий день тривалістю 8годин,
якщо продуктивність праці протягом дня змінюється за емпіричною формулою
де t – час(год), Р0 – розмірність продуктивності (одиниця продукції за
год.), t0 – розмірність часу (год). Ця формула відображає реальний
процес роботи (мал.)
Розв’язання. Продуктивність спочатку зростає, досягаючи максимального
значення всередині робочого дня, при t=4, а потім спадає.
мал.
Денний виробіток становитиме
де множник й0 має розмірність одиниці продукції.
Приклад 2. Виробництво деякого обладнання характеризується темпом росту
його випуску
де ?y – приріст випуску цього обладнання за час ?t , а y – рівень його
виробництва за одиницю часу на момент t. Знайти загальну кількість
обладнання, виготовленого до моменту часу t, вважаючи що К – відома
постійна величина, одиниця часу – рік , а в початковий момент часу t=0
рівень річного виробництва обладнання був у0.
Розв’язання. Вважаючи, що у – неперервна функція від t, знайдемо границю
Інтегруючи останній вираз в межах від 0 до t, маємо
Сумарна кількість обладнання, виготовленого за час t, буде рівна
Тоді, наприклад, при к=0.05 ( 5% щорічний темп росту) загальна кількість
обладнання, виготовленого за 10 років
причому рівень виробництва за вказаний період збільшився майже на 65%.
Часто для визначення економічної ефективності капіталовкладень
зустрічаються так звані задачі дисконтування: визначення початкової суми
S через час t за її кінцевою величиною S при відсотковій ставці р.
Застосування апарату диференціальних рівнянь в економіці
Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь в
неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час t. Такі
моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на
довгих інтервалах часу. Вони і є предметом дослідження економічної
динаміки.
Модель природного росту випуску продукції
Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною Р, Q(t) – кількість
продукції реалізованої на момент t. Тоді дохід складає PQ(t). Нехай
частина доходу реалізується на інвестиції у виробництво реалізованої
продукції, т.т.
J(t) = mPQ(t), (1)
де m – норма інвестиції, стале число (0 0, тобто
Q(t) – зростаюча функція. Характер зростаючої функції визначається її
другою похідною. Із (5), маємо
, ця рівність має вигляд
, а значить Е 1,
Q” > 0 і графік функції Q(t) опуклий вниз, що означає прогресивний ріст.
При нееластичному попиті |Е| Y , то С > 0 і інтегральні криві йдуть вверх від рівноважної
прямої Y = Yp , то національних дохід з часом зростає.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
