UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваІнтерполяційний многочлен Лагранжа. (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2661
Скачало606
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Інтерполяційний многочлен Лагранжа.

 

 

Нехай відоме значення деякої функції f в n+1 різних точках х0, х1, ...

хn, які позначені наступним чином:

 

 

Наприклад, ці значення отримані з експерименту, або знайдені із

допомогою достатньо важких обчислень.

 

Виникає задача наближеної відновленої функції f в деякій точці х.

Найчастіше для вирішення цієї задачі будується алгебраїчний многочлен

Ln(x) степеня n, який в точках xj ,отримує задані значення, і так далі

 

(1)

 

фактично має нульову степінь, але його теж будем називати

інтерполяційним многчленом n-го степеня.

 

Приблизне відновлення функції f по формулі

 

(2)

 

Називається інтерпеляцією функції f (з допомогою алгебраїчного

многочлена). Якщо х знаходиться за межами мінімального відрізка

вміщаючого всі точки інтерпеляції x0, x1,…,xn то зміну функції по

формулі (2) називають екстраполяцією.

 

Спочатку виляснемо питання існування і однорідності інтерполяційного

многочлена, а потім дослідимо хибність інтерпеляції, яка різниця між

лівою та правою частинами наближеного рівняння (2).

 

Теорема 1:

 

Існує єдиний інтерполяційний многочлен n-го степеня, відповідаючий умові

(1).

 

Доведення: Існування інтерполяційного многочлена безпосередньо

установим, виписавши його. Нехай n=1, тоді

 

(3)

 

При n=2

 

 

в, кінці в любому випадку при любому натуральному n

 

(4)

 

де

 

(6)

 

, викопано умови (1).

 

n-го степеня, задовольняючий умовам:

 

(7)

 

тоді згідно (1), (7)

 

(8)

 

теорема повністю доказана.

 

Інтерполяційний многочлен, приставлений у виді (5), називається

інтерполяційним многочленом Лагранжа, а функції (многочлени) (6) –

лагранжовими коефіцієнтами є і другі форми запису інтерполяційного

многочлена. Однак по теоремі (1) інтерполяційний многочлен n-го степеня

(точніше кажучи, степені не більше n), задовольняючий умовам (1),

єдиний.

 

, яке може служити контролем при обчисленні Лагранжеві коефіцієнтів

(6).

 

, то інтерполяційний многочлен для суми двох функцій рівний сумі

інтерполяційних многочленів для складених.

 

Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа по наступним

даним

 

і 0 1 2 3

 

хi 0 2 3 5

 

fi 1 3 2 5

 

 

 

Розв’язання: Згідно (5) при n=3 маємо

 

 

Усе можна написати рівняння:

 

(9)

 

точку х.

 

в наступному виді:

 

(10)

 

(11)

 

.

 

, і розберемо наступну функцію від t:

 

(12)

 

в якому випадку n+2-х точка х відрізка (а,в) на якому міняється t.

 

отримаєм:

 

 

Наступне,

 

 

і в співвідношенні з (9), (10),

 

(13)

 

, (14)

 

- деяка невідома точка.

 

 

15

 

а оцінка максимальної інтерполяції на всьому відрізку [a,b]

 

(16)

 

де Mn+1 - величина

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ