Реферат з математики
Основні тригонометричні формули. Співвідношення між тригонометричними
функціями одного и того самого аргументу
Розглянемо, як пов’язані між собою синус і косинус одного й того самого
кута.
Нехай при повороті радіуса ОА навколо точки О на кут ? дістали радіус ОВ
(мал. 77). Тоді за означенням
,
де х — абсциса точки В, а у — її ордината, а R — довжина радіуса ОА.
Звідси
x = R cos ?, y = R sin ?.
Оскільки точка В належить колу з
центром у початку координат, радіус якого дорівнює R, то її координати
задовольняють рівняння
x2+y2 = R2
Підставивши в це рівняння замість х і у вирази R cos ? і R sin ?,
дістанемо:
(R cos ?)2 + (R sin ?)2=R2.
Поділивши обидві частини останньої рівності на R2, знайдемо, що
sin2? + cos2? = l. (1)
Рівність (1) справджується при будь-яких значеннях ?.
З’ясуємо тепер, як пов’язані між собою тангенс, синус і косинус одного і
того самого кута.
. Оскільки y = R sin ?, х= R cos ?, то
.
Отже,
(2)
Аналогічно
,
тобто
, (3)
0.
За допомогою формул (1) – (3) можна вивести інші формули, які виражають
співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого
аргументу.
З різностей (2) і (3) дістанемо:
= 1,
тобто
tg ?-ctg ? = l. (4)
Рівність (4) показує, як пов’язані між собою тангенс і котангенс кута ?.
Вона справджується при всіх значеннях ?, при яких tg ? і ctg ? мають
зміст.
Зазначимо, що формулу (4) можна вивести і безпосередньо з означення
тангенса і котангенса.
Виведемо тепер формули, які виражають співвідношення між тангенсом і
косинусом, а також між котангенсом і синусом одного й того самого кута.
Поділивши обидві частини рівності (1) на cos2? дістанемо:
,
тобто
. (5)
Якщо обидві частини рівності (1) поділити на sin2a, то матимемо:
.
тобто
(6)
0.
Рівності (1) – (6) є тотожностями, їх називають основними
тригонометричними тотожностями. Розглянемо приклади використання цих
тотожностей для знаходження значень тригонометричних функцій за відомим
значенням однієї з них.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
