Реферат на тему:
Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.
План:
1. Степеневі ряди.
2. Теорема Абеля.
3. Радіус збіжності.
4. Область збіжності степеневого ряду.
Степеневий ряд.
Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду
(28)
– дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.
– дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:
(29)
= t зводиться до ряду вигляду (28), тому надалі розглядатимемо лише
степеневі ряди вигляду (28).
. Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну
точку.
+ … абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку /—р; р],
який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R, R).
За умовою р / х /. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь
точці х, що
задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці
А/ бо І хі І R — розбіжний.
Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал ( — R;
R) — інтервалом збіжності.
Вкажемо спосіб визначення радіуса збіжності степеневого ряду. Складемо
ряд із модулів членів ряду (28) п=0.
.
) є інтервалом абсолютної збіжності ряду (28), а число
=
,то ряд (28) є абсолютно збіжним на всій числовій осі. У цьому разі
вважають R = + 00. Якщо ж L = о, то R = 0, і степеневий ряд має лише
одну точку збіжності х = 0.
Зауваження 2. Питання про збіжність ряду при х = ± R (на кінцях
інтервалу збіжності) розв’язується для кожного ряду окремо. Таким чином,
область збіжності степеневого ряду може відрізнятись від інтервалу
(—R; R) не більше ніж двома точками х = ± R.
Зауваження 3. Радіус збіжності ряду (29) визначається за тими самими
формулами (ЗО) і (31), що і ряду (28).
Інтервал збіжності ряду (29) знаходять з нерівності / х хо/
розбігається в точці х. Візьмемо тепер довільну точку х, для якої |х| 1. Радіус збіжності досліджуваного ряду R = 10, а його інтервалом
збіжності є інтервал (-10; 10).
З’ясуємо тепер поведінку ряду на кінцях проміжку (-10; 10). Підставивши
в заданий ряд замість х число 10, дістанемо гармонічний ряд
а він розбіжний. Отже, в точці х = 10 даний ряд розбігається.
При х = -10 матимемо числовий знакопереміжний ряд
який умовно збіжний (за теоремою Лейбніца).
Таким чином, проміжком збіжності заданого ряду є [-10; 10).
2. Знайти проміжок збіжності ряду
Скористаємось ознакою Д’Аламбера. Маємо
R.
).
3. Знайти проміжок збіжності ряду
.
Цей приклад читач розв’яже самостійно; ми обмежимося відповіддю: тут
радіус збіжності R = 1; проміжком збіжності є відрізок [-1; +1], ряд
збігається абсолютно також при х = ±1.
Усе викладене стосується також степеневого ряду вигляду лише роль точки
0 відіграє точка х0: проміжок збіжності має кінці х0 – R та х0+ R (зі
включенням кінців чи ні залежно від випадку).
Література:
Барковський В.В. Барковська Н.В. ”Математика для економістів”. Вища
математика. – К.: Національна академія управління, 1997 р. – 397 ст.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
