UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваСтепеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось10362
Скачало362
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Степеневі ряди. Теорема Абеля. Область збіжності степеневого ряду.

 

 

План:

 

1. Степеневі ряди.

 

2. Теорема Абеля.

 

3. Радіус збіжності.

 

4. Область збіжності степеневого ряду.

 

Степеневий ряд.

 

Степеневим рядом, називається функціональний ряд вигляду

 

(28)

 

- дійсні числа, які називаються коефіцієнтами ряду.

 

- дійсне число, називають функціональний ряд вигляду:

 

(29)

 

= t зводиться до ряду вигляду (28), тому надалі розглядатимемо лише

степеневі ряди вигляду (28).

 

. Тому область збіжності степеневого ряду завжди містить принаймні одну

точку.

 

+ ... абсолютно і рівномірно збіжний на будь-якому відрізку /—р; р],

який цілком міститься в інтервалі збіжності (- R, R).

 

За умовою р < R. Візьмемо точку Хо Є (р; R). За теоремою Абеля:

 

збіжний. Для довільної точки х є 1- р, р] виконується нерівність

 

, тому за ознакою Вейєрштрасса ряд (28) абсолютно і рівномірно збіжний.

 

 

З цієї властивості і властивостей 1°—3° функціональних рядів (п. 2.1)

випливають такі твердження:

 

1°. Сума степеневого ряду (28) неперервна всередині його інтервалу

збіжності.

 

2°. Якщо межі інтегрування а та Ь лежать всередині інтервалу збіжності

(—R; R)-ряду (24), .то на відрізку |а; Ь| цей ряд можна почленно

інтегрувати.

 

Зокрема, якщо ряд (28) інтегрувати по відрізку [0; х], де / х /< R, то в

результаті дістанемо степеневий ряд, який має той самий інтервал

збіжності, що і ряд (28); при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28):

 

 

3°. Якщо ряд (28) має інтервал збіжності (— R; R), то ряд, утворений

диференціюванням ряду (28), має той самий інтервал збіжності

(— R; R) ; при цьому, якщо S (х) — сума ряду (28), то:

 

є (-R; R).

 

Таким чином, ряд (28) на відрізку [0; х], \ х < R, можна інтегрувати і

диференціювати скільки завгодно раз в будь-якій точці х є (— R; R) При

цьому інтервалом збіжності кожного ряду є той самий інтервал (-R, R).

 

Сформульовані властивості степеневих рядів широко використовуються в

теоретичних дослідженнях і наближених обчисленнях.

 

Приклад:

 

 

Позначимо суму даного ряду через S (х), тоді:

 

 

Цю суму можна розглядати як геометричну прогресію з першим членом a = 1

і знаменником q = —x2. Знайшовши суму прогресії, дістанемо:

 

 

, маємо:

 

 

Звідки:

 

 

2. Теорема Абеля.

 

) обмежена, тобто існує таке число М, що:

 

п =0,1,2,....

 

Тоді ряд (28) буде розбіжним і для всіх х, що задовольняють нерівність

/ х / >/ х /. Справді, якби припустити, що він збіжний в якій-небудь

точці х, що

 

задовольняє цю нерівність, то за доведеним він був би збіжним і в точці

А/ бо І хі І < І х . А це суперечить тому, що в точці хі ряд розбіжний.

 

|; + оо) справа від точки | х, 1 складається з точок розбіжності цього

ряду. Отже, для області збіжності степеневого ряду можливі три випадки:

1) ряд (28) збіжний лише в точці х = 0; 2) ряд (28) збіжний при всіх х є

(_ -оо; + 00); 3) існує таке скінченне число R є (0;+ 00), що при 1 х І

< R степеневий ряд абсолютно збіжний, а при [ х \ > R — розбіжний.

 

Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал ( — R;

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ