UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваАлгебраїчні розширення числових полів (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2161
Скачало347
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Алгебраїчні розширення числових полів

 

Скінченні та алгебраїчні розширення числових полів

 

Поняття алгебраїчного і трансцендентного чисел.

 

називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є

коренем деякого многочлена над полем Р.

 

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається

трансцендентним відносно поля Р.

 

=0).

 

Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.

 

алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x2-2 i x3-7 відповідно над

полем Q.

 

і інші – є трансцендентними.

 

- корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р:

f(x)=xn+an-1xn-1+...+a1x+a0. (1)

 

).

 

відносно поля Р.

 

Приклад:

 

Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел Q,

оскільки поле Q належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке

ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не

належить числовому полю Q.

 

, де a, b – довільні раціональні числа.

 

, що результатами додавання і множення даних чисел.

 

.

 

k}. Розширення, утворене приєднанням одного числа, називається

простими.

 

.

 

, алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним

розширенням поля Р.

 

Будова простого алгебраїчного розширення характеризується теоремою.

 

n-1 (2), де c0, c1,...,cn-1 – довільні числа з поля Р.

 

Доведення:

 

.

 

є числом виду (2), бо r(x) – многочлен степеня ? п-1.

 

) буде многочлен того ж виду). Оскільки f(x) – незвідний у полі Р

многочлен, то многочлен q(x) або взаємно простий з f(x), або ділиться на

f(x). але другий випадок неможливий, бо q(x) має степінь, менший ніж

степінь мінімального многочлена f(x). Тому (f, g)=1.

 

є числом виду (2).

 

).

 

). Теорема доведена.

 

, де a, b – довільні числа з поля Р.

 

, де a, b – раціональні числа.

 

, називається квадратичним розширенням поля Р.

 

) є квадратичним розширенням поля Q раціональних чисел, утворене

приєднанням кореня многочлена f(x)=x2-2.

 

3.

 

)?0).

 

Щоб позбутись ірраціональності в знаменнику, треба виконати такі

тотожні перетворення. Хід цих перетворень випливає із самого доведення

теореми 1.

 

, де degr

дробу меншим за п. Але тоді q(x) i f(x) – взаємно прості, адже f(x) –

незвідний многочлен.

 

- корінь незвідного многочлена f(x), треба здійснити такі дії:

 

) – остача від ділення q(x) на f(x).

 

, які задовольняють рівність (4).

 

у вигляді (5).

 

 

 

p(x)=x+4

 

q(x)=2-x

 

degq

 

(2-х)=1.

 

_x3-2

 

x3-2x -x+2

 

-x2-2x-4

 

_2x2-2

 

2x2-4x

 

_4x-2

 

4x-8

 

6

 

 

_-x+2

 

 

_2

 

2

 

0

 

x3-2=(-x+2)(-x2-2x-4)+6

 

 

6=(x3-2)+(x2+2x+4)(-x+2)

 

(-x+2)

 

.

 

4.

 

) можна розглядати як лінійний простір над полям Р.

 

.

 

n-1.

 

n.

 

відносно поля Р.

 

над полем Р.

 

, які можуть утворювати лінійно незалежну систему (і навпаки).

 

.

 

Не кожне розширення поля є скінченим. Наприклад поле R дійсних чисел є

розширенням поля Q раціональних чисел. однак це розширення не є

скінченим, бо в ньому не існує скінченого базису, через який лінійно

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ