Реферат
на тему:
Оцінка істинного значення вимірюваної величини
Одним із важливих завдань в процесі експериментальних вимірювань є
встановлення істинного значення вимірюваної величини. Це завдання є
окремим випадком статистичної задачі визначення оцінок параметрів
функції розподілу випадкової величини на основі вибірки ряду значень
цієї величини, одержаних в п незалежних дослідах.
Оцінку параметра називають кінцевою, якщо вона виражається одним числом.
Будь-яка кінцева оцінка, обчислена за дослідними даними, є їх функцією,
а тому і сама вона є випадковою величиною з розподілом, залежним від
розподілу вихідної випадкової величини та від кількості вимірювань п.
Одержана в результаті багаторазових вимірювань інформація про істинне
значення вимірюваної величини і розсіювання результатів окремих
вимірювань складається з ряду вимірювань Х1, Х2,…, Хп, де п —
кількість вимірювань.
За цих умов за оцінку істинного значення вимірюваної величини природно
прийняти середнє арифметичне значення одержаних результатів вимірювання,
як п незалежних випадкових величин.
(1)
Проте середнє арифметичне є лише оцінкою математичного сподівання
результатів вимірювань і може стати оцінкою істинного значення
вимірюваної величини за відсутності систематичних похибок.
Середнє арифметичне, обчислене за обмеженою кількістю вимірювань, і саме
є випадковою величиною. Обчислимо його математичне сподівання:
(2)
Слід зауважити, що дисперсія середнього арифметичного в п разів менша,
ніж дисперсія результатів вимірювань, а вираз його середнього
геометричного матиме вигляд
(3)
. наближається до нуля. Це означає, що середнє арифметичне низки
вимірювань наближається за ймовірністю до математичного сподівання і є
його обґрунтованою оцінкою. Логічним наслідком оцінки істинного значення
виміряної величини за допомогою середнього арифметичного значення ряду
вимірювань є оцінка значень випадкових похибок між результатами і
середнім арифметичним:
(4)
У міру збільшення числа вимірювань розподіл випадкових відхилень ?i
асимптотично наближається до розподілу випадкових похибок. Середнє
квадратичне відхилення результатів вимірювань Sx обґрунтоване, але дещо
зміщене і має вигляд
(5)
Одержані оцінки (формули (4.21)—(4.27)) дають змогу записати результат
вимірювання таким чином:
Q = mx±Sx. (6)
Інтервал, який визначається правою частиною цього рівняння, “накриває”
істинне значення вимірюваної величини, але не зрозуміло з якою
ймовірністю.
F
V
Z
B
F
H
H
Для уточнення довірчих ймовірностей розглянемо оцінки параметрів за
допомогою довірчих інтервалів, у межах яких перебуває істинне значення
вимірюваної величини з відповідною ймовірністю.
Припустимо, що розподіл результатів спостережень нормальний, відома
дисперсія, середнє геометричне значення і значення довірчого інтервалу
тх— tp?x; mx+tp?x. Необхідно визначити ймовірність потрапляння істинного
значення Q вимірюваної величини. Систематичні похибки при цьому
відсутні. За допомогою інтегральної функції Ф(z) визначається
ймовірність з такої залежності:
(7)
Це означає, що істинне значення Q з довірчою ймовірністю р = 2Ф(tр) – 1
знаходиться у межах довірчого інтервалу тх— tp?x; тх+ tp?x.
Половина довжини довірчого інтервалу називається довірчою межею
випадкових відхилень результатів спостережень при довірчій імовірності
р. Для визначення довірчої межі необхідно встановити ступінь
ймовірності, визначити значення інтегральної функції і за таблицями
знайти значення коефіцієнта tP і tp?x.
разів коротший, ніж інтервал, розрахований за результатами одного
спостереження, і називається довірчою межею похибки результатів
спостережень:
(8)
де ?йм — ймовірна похибка;
tp— коефіцієнт Стьюдента, який залежить від р і п;
п — кількість вимірювань.
Істинне значення Q вимірюваної величини можна записати таким виразом:
(9)
Формула (9) показує, що результат вимірювання знаходиться у певних межах
±?р, і кількість значень виміряної величини — множина. Необхідно
уточнити межі відхилення дисперсії та середнього квадратичного
відхилення за допомогою X2 -розподілу Пірсона з k = п – 1 ступенями
свободи:
(10)
Диференціальна функція цього розподілу описується формулою
(11)
де k = п – 1 — кількість ступенів свободи;
Sx — оцінка дисперсії результатів вимірювання;
? — інтервал чисел (1, 2, 3, …);
е — основа натурального логарифма (є = 2,71823).
Значення ах середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань
лежить в інтервалі (Sx1; Sx2), межі якого визначаються за формулами
(12)
де q — мінімальна ймовірність, яка знаходиться у межах 0,003—0,1 для
вимірювань з ймовірністю 0,9—1. Значення розподілу Пірсона знаходиться
за таблицею.
Список використаної літератури
В.Д.Цюцюра, С.В.Цюцюра. Метрологія та основи вимірювань. Навч. посібн.,
К., “Знання -Прес”, 2003
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
