Реферат на тему:
Стійкість систем автоматичного управління. Алгебрагічні критерії
стійкості
Зміст
Вступ………………………………………………………….
…………………………………………………………3
1. Критерії алгебри
стійкості………………………………………………………
………………………….4
1.1. Поняття стійкості
системи………………………………………………………..
………………….4
1.2. Математична ознака
стійкості………………………………………………………
………………5
1.3. Критерій стійкості лінійних
САУ……………………………………………………………
……5
1.3.1. Необхідна умова
стійкості………………………………………………………
……………..6
1.3.2. Критерій
Рауса………………………………………………………….
…………………………..7
1.3.3. Критерій
Гурвіца………………………………………………………..
…………………………7
2. Частотні критерії
стійкості………………………………………………………
…………………………9
2.1. Принцип
аргументу………………………………………………………
…………………………….9
2.2. Частотний критерій
Михайлова………………………………………………………
………….11
2.3. Частотний критерій
Найквіста………………………………………………………
……………13
2.4. Логарифмічний частотний
критерій……………………………………………………….
…..16
Висновки……………………………………………………….
………………………………………………………..18
Список використаної
літератури……………………………………………………..
………………………19
Вступ
Теорія автоматичного управління (ТАУ) є теоретичною основою, на базі
якої розробляються більшість автоматичних пристроїв. Предметом вивчення
ТАУ є принципи побудови, методи аналізу і синтезу широко
розпоповсюджених систем автоматичного регулювання і управління.
Основоположником ТАУ, що зародилася небагато чим більш за століття
назад, є проф. Петербурзького технологічного інституту І.А.
Вишнеградський (1831—1895). Основи ТАУ були викладені в його роботі “Про
регулятори прямої дії” (1876 р.) Він вперше показав, що процеси в
пристрої управління і пов’язаному з ним об’єктом нерозривно зв’язані між
собою і вимагають сумісного дослідження.
У пристроях управління важливе місце займає проблема забезпечення
стійкості руху. Основоположником строгої теорії стійкості є професор
Харківського університету А.М. Ляпунов (1857-1918).
Критерії алгебри стійкості
Поняття стійкості системи
У статичному режимі роботи всі складові вектора стану САУ не залежать
від моменту часу їх розгляду і залишаються постійними, відповідними
умові рівноваги системи. Це стан залежно від структури і параметрів САУ
може бути стійким або нестійким. Якщо після зміни вектора зовнішніх дій
система приходить в стан, при якому всі складові вектора її стану стають
постійними, тобто система повертається в положення рівноваги, то це стан
рівноваги є стійким. У разі, коли після зміна вхідного сигналу або
обурення, система не прагне в первинний стан, а вектор вихідних сигналів
змінюється незалежно від зовнішньої дії, то такий стан є нестійким. В
цьому випадку система автоматичного управління є нестійкою. Графічна
інтерпретація таких режимів роботи САУ представлена на рис. 1.
Рис. 1. Графічна інтерпретація стійкості.
Під стійкістю розуміється властивість САУ повертатися в початковий стан
після виведення її з цього стану і припинення впливу задаючої або
обурюючої дії.
Тільки стійка система автоматичного управління може виконувати покладені
на неї функції. Тому одним з основних завдань САУ є забезпечення її
стійкості.
Основи теорії стійкості САУ були закладені А.М. Ляпуновим в його роботі
“Загальне завдання стійкості рухів”, опублікованої в 1882 р.
Якщо САУ представляється системою лінійних диференціальних рівнянь, то
її стійкість не залежить від величини і точки додатку зовнішніх обурень.
Нелінійні системи можуть бути стійкі при малих обуреннях і нестійкі при
великих обуреннях. Теорема Ляпунова встановлює, що про стійкість
нелінійних систем при малих обуреннях можна судити по їх лінеаризованих
рівняннях, достатньо адекватно тих, що описують поведінку САУ при малих
відхиленнях від положення рівноваги. Тому розглядатимемо тільки питання
стійкості САУ, що представляються лінійними або лінеаризованими
диференціальними рівняннями.
1.2. Математична ознака стійкості.
вимушені рухи, визначувані обуренням і властивостями системи. Вид
перехідного процесу визначається як
.
Щоб САУ могла достовірно відображати інформацію, що задавалася,
необхідно, щоб в перехідному процесі вільна складова з часом повинна
прагнути до нуля, тобто повинна виконуватися умова вигляду:
.
Характер вільного руху системи визначає її стійкість або нестійкість.
Можливі види перехідних процесів в САУ представлені на рис. 2.
Рис. 2. Види кривих перехідних процесів.
Розглянемо диференціальне рівняння лінійної САУ.
1.3. Критерії стійкості лінійних САУ.
Прямий аналіз стійкості САУ, заснований на обчисленні коріння
характеристичного рівняння, пов’язаний з необхідністю обчислення
коріння, що є непростим завданням. Тому в інженерній практиці важливого
значення набувають правила, що дозволяють визначати стійкість системи
без обчислення коріння характеристичного рівняння.
Способи визначення стійкості САУ без обчислення коріння
характеристичного рівняння називаються критеріями стійкості САУ.
Розрізняють дві групи критеріїв стійкості: алгебра – засновані на
аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні – засновані
на аналізі частотних характеристик САУ.
1.3.1. Необхідна умова стійкості
Характеристичне рівняння системи за допомогою теореми Вієта може бути
записане у вигляді:
D(p)= aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + … + an = ao(p-p1)(p-p2)…(p-pn) = 0,
де p1, p2 …, pn – коріння цього рівняння. Якщо система стійка, означає
все коріння ліві, тобто речові частини всього коріння негативні, що
можна записати як ai = -|ai| 0, a1 > 0 …, an > 0. Надалі розглядатимемо тільки
рівняння, де a0 > 0. Інакше рівняння домножується на -1.
Розглянута умова є необхідним, але не достатньою умовою. Необхідні і
достатні умови дають критерії алгебри Раусу і Гурвіца.
1.3.2. Критерій Рауса
Цей критерій є системою нерівностей, складених по особливих правилах з
коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої САУ:
1) У першому рядку таблиці записують коефіцієнти характеристичного
рівняння, що мають парні індекси в порядку їх зростання.
2) У другому рядку таблиці записують коефіцієнти з непарними індексами в
порядку їх зростання.
3) У подальші рядки вписують коефіцієнти, визначені як
,
де – i – індекс, що позначає номер рядка таблиці
– індекс, що позначає номер стовпця таблиці.
4) Число рядків таблиці Рауса на одиницю перевищує порядок
характеристичного рівняння замкнутої САУ.
Умови стійкості Рауса: Щоб САУ була стійкою необхідно і достатньо, щоб
всі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак,
тобто були позитивними. Якщо не всі коефіцієнти першого стовпця таблиці
Рауса позитивні, тобто САУ нестійка, число правого коріння
характеристичного рівняння рівне числу змін знаку в першому стовпці
таблиці Рауса.
1.3.3. Критерій Гурвіца
Цей критерій дозволяє визначити стійкість САУ, якщо характеристичне
рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:
Для цього будується головний визначник Гурвіца за наступним правилом: по
головній діагоналі виписуються всі коефіцієнти від до в порядку
зростання коефіцієнтів. Стовпці вгору від головної діагоналі
заповнюються коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно
зростаючими індексами, а стовпці вниз – коефіцієнтами з послідовно
убуваючими індексами. На місці коефіцієнтів з індексами, великими
порядку характеристичного рівняння і меншими нуля, проставляють нулі.
Виділяючи в головному визначнику Гурвіца діагональний мінор, отримуємо
визначника Гурвіца нижчого порядку. Номер визначника Гурвіца
визначається номером коефіцієнта по діагоналі, до якого складають даного
визначника.
.
Визначення: щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб визначник
Гурвіца і його діагональний мінор мали знаки, однакові із знаком першого
коефіцієнта характеристичного рівняння замкнутої САУ. При для стійкості
САУ необхідно і достатнє виконання умов:
;.
Розглянемо замкнуту САУ, що складається з трьох послідовно включених
аперіодичних ланок, охоплених 100% зворотним зв’язком.
Передавальна розімкненою САУ функція має вигляд:
.
Передавальна функція замкнутої САУ визначається як
.
Головний визначник Гурвіца має вигляд:
.
. Ця умова виконується для всіх можливих комбінацій параметрів САУ.
Другий визначник Гурвіца визначається як
.
Розкриваючи визначника отримуємо
.
Вирішуючи це рівняння щодо сумарного коефіцієнта посилення САУ,
визначуваного як
,
отримуємо, що
З цього виходить, що сумарний коефіцієнт посилення САУ не може
перевищувати деяку величину. Отже, межі зменшення погрішності
стабілізації регульованої координати в такій системі обмежені.
Частотні критерії стійкості
Це графоаналітичні методи, що дозволяють по вигляду частотних
характеристик САУ судити про їх стійкість. Їх загальна гідність в
простій геометричній інтерпретації, наочності і у відсутності обмежень
на порядок диференціального рівняння.
2.1. Принцип аргументу
Запишемо характеристичний поліном САУ у вигляді:
(p – pn) = 0.
Його коріння
i + ji = |pi|ejarg(pi),
i = |pi|ejarg(pi),
.
Кожен корінь можна зобразити вектором на комплексній площині (рис.3.а),
тоді різниця p – pi зобразиться різницею векторів (рис.3.б), де p –
будь-яке число.
Рис. 3.
Якщо міняти значення p довільним чином, то кінець вектора p – pi
переміщатиметься по комплексно площини, а його початок залишатиметься
нерухомим, оскільки pi – це конкретне незмінне значення.
У окремому випадку, якщо на вхід системи подавати гармонійні коливання з
різною частотою, то p = j, а характеристичний поліном приймає вигляд:
(j – pn).
e
OA
??????????
??
|0}L}h~aaoeioeioeioeioeoeioeioeioeoeioeioeioeioea
O‘e‘l“?”|?ae*PO‚OoeeUee?e?eEe?e1/41/4ee?ee?
&
, то кожен вектор j – pi буде повертатися щодо свого початку pi на кут
+p для лівих і – p для правого коріння (рис.3.г).
Характеристичний поліном можна представити у вигляді
D(j)= |D(j)|ejarg(D(j)),
– pn|
arg(D(j))= arg(j – p1)+ arg(j – p2)+ .. + arg(j – pn).
рівний
– m
отримуємо
/2).
ця різниця умножається на /2.
Це і є принцип аргументу. Він покладений в основі всіх частотних
критеріїв стійкості. Ми розглянемо два найбільш поширених критерії:
критерій Михайлова і критерій Найквіста.
2. 2. Частотний критерій Михайлова
Критерій Михайлова – це частотний критерій, що дозволяє судити про
стійкість замкнутої системи по поведінці її характеристичного вектора на
комплексній площині. Характеристичний вектор отримують шляхом
підстановки у вираз для характеристичного полінома
,
. Тоді характеристичний вектор представляється комплексною величиною,
визначуваною як:
,
де
.
Тобто для стійкості САУ необхідне виконання умови вигляду:
.
Для виведення цього твердження представимо характеристичний поліном у
вигляді
,
.
На комплексній площині кожному кореню відповідає певна точка.
Підставивши, отримуємо
.
.
Якщо характеристичне рівняння має m коріння в правій напівплощині, то в
лівій напівплощині число цього коріння буде рівне n-m. При зміні частоти
від до сумарний кут повороту вектора характеристичного полінома
визначається як
.
. Таким чином, якщо вектор характеристичного полінома замкнутої САУ
порядку “n” при зміні частоти від до описує в позитивному напрямі кут n,
то така система регулювання буде стійка. Інакше САУ буде нестійка.
Через симетричність кривої, що описується кінцем вектора
характеристичного полінома, можна обмежитися розглядом лише її частини,
відповідної позитивним значенням частоти. При цьому кут, що описується
вектором характеристичного полінома при зміні частоти від 0 до,
зменшиться удвічі і визначатиметься як
.
Формулювання критерію: для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб
її характеристичний вектор при зміні частоти від 0 до обернувся в
позитивному напрямі (проти годинникової стрілки), починаючи з позитивної
речової осі на число квадрантів, рівне порядку характеристичного
рівняння.
На рис. 4 приведені годографи Михайлова для стійких і нестійких САУ.
Зміну коефіцієнта викликає зрушення годографа Михайлова уздовж
горизонтальної осі без його деформації. Це дає можливість оцінити
граничне значення цього коефіцієнта, при якому зберігаються умови
стійкої роботи САУ.
Рис. 4. Годографи Михайлова для стійких і нестійких САУ
2. 3. Частотний критерій Найквіста
Критерій Найквіста – це частотний критерій, що дозволяє судити про
стійкість САУ, замкнутим одиничним зворотним зв’язком, по вигляду
амплитудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.
Для формулювання критерію розглянемо САУ, яка в розімкненому стані
характеризується передавальною функцією вигляду
,
де – деякі поліноми від, причому ступінь знаменника вище або рівна
ступеню чисельника.
Знаменник цього виразу є характеристичним поліномом розімкненої САУ.
Передавальна функція такої системи, охопленої 100% негативному
зворотному зв’язку, визначається як
,
де – характеристичний поліном замкнутої систем.
Зворотний цьому вираз визначається як
.
.
.
У площині коріння, кожен корінь може бути представлений вектором,
проведеним з початку координат. Якщо вибрати значення незалежної змінної
в довільній точці комплексної площини, то комплексне число вигляду може
бути представлене у вигляді різницевого вектора, як показано на рис. 5.
Рис. 5. Графічне представлення різниці векторів
Якщо, то різницевий вектор матиме свій початок в точці закінчення
вектора, а закінчення – на уявній осі. В цьому випадку вираз для
зворотної передавальної функції замкнутої САУ можна представити як
.
. Поворот відбуватиметься проти годинникової стрілки, якщо корінь
лежить зліва від уявної осі, і за годинниковою стрілкою, якщо корінь
розташований в правій напівплощині. Чисельник і знаменник цього виразу
можуть бути представлені як деякі вектора, модуль яких рівний твору
модулів співмножників, а кут повороту – як сума кутів повороту векторів
співмножників. Тому можна записати, що
.
. Сумарний кут повороту вектора визначатиметься як
.
. Отже сумарний кут повороту вектора стійкої системи за розглянутих
раніше умов рівний нулю. Тобто виконуватиметься умова
.
При виконанні цієї умови вектор розташовуватиметься праворуч від уявної
осі. Цей вектор визначається АФЧХ розімкненою САУ, але його початок
знаходиться в крапці (–1,j0). Виходячи з цього, формулюється критерій
стійкості Найквіста.
Формулювання критерію. САУ стійка в замкнутому стані, якщо годограф АФЧХ
стійкої розімкненої системи не охоплює крапки з координатами (-1, j0) на
комплексній площині. Це формулювання справедливе як для статичних, так і
астатичних САУ, тобто систем, характеристичне рівняння яких містить
нульовий корінь того або іншого ступеня кратності.
На рис. 6 приведені АФЧХ стійких і нестійких САУ.
Стійкі САУ Нестійкі САУ
Рис. 6. АФЧХ стійких і нестійких САУ
2. 4. Логарифмічний частотний критерій
Логарифмічний критерій – це частотний критерій, що дозволяє судити про
стійкість замкнутої САУ по вигляду логарифмічної характеристики
розімкненої системи. Цей критерій заснований на однозначному зв’язку
ЛФЧХ і АФЧХ систем автоматичного управління. При цьому розглядаються
САУ, що базуються на використанні стійких розімкнених систем. Крім того,
розглядаються системи з астатизмом не вище другого порядку.
Як випливає з критерію стійкості Найквіста в стійких САУ фазове зрушення
може досягати значення тільки при модулях комплексної передавальної
функції, меншому чим одиниця. Це дозволяє легко визначити стійкість по
вигляду ЛАЧХ і ЛФЧХ.
Формулювання критерію: для стійкості системи в замкнутому стані
необхідно і достатньо, щоб в діапазоні частот, де ЛАЧХ розімкненої
системи більше нуля число переходів фазової характеристики прямої знизу
верх перевищувало на число переходів зверху вниз, де а – число коріння
характеристичного рівняння розімкненої системи, лежачого в правій
напівплощині.
У окремому випадку для стійкої розімкненої системи (а=0) необхідною і
достатньою умовою замкнутої системи є необхідність виконання наступної
умови. У діапазоні частот, де, фазова частотна характеристика не повинна
перетинати прямої, або перетинати її однакове число разів від низу до
верху і зверху вниз.
Рис. 7. ЛФЧХ стійкою і нестійкою САУ
Критичним значенням коефіцієнта перетворення називається таке його
значення, при якому АФЧХ проходить через точку (-1, j0) і система
знаходиться на межі стійкості.
Запасом по модулю називається величина в децибеллах, на яку потрібно
змінити коефіцієнт перетворення САУ, щоб привести її до межі стійкості.
,
.
Запасом стійкості по фазі називається кут, на який потрібно повернути
амплитудно-фазову характеристику розімкненої системи, щоб замкнута САУ
опинилася на межі стійкості.
,
.
Висновки
Під стійкістю розуміється властивість САУ повертатися в початковий стан
після виведення її з цього стану і припинення впливу задаючої або
обурюючої дії. Тільки стійка система автоматичного управління може
виконувати покладені на неї функції. Тому одним з основних завдань САУ є
забезпечення її стійкості. Якщо САУ представляється системою лінійних
диференціальних рівнянь, то її стійкість не залежить від величини і
точки додатку зовнішніх обурень.
Прямий аналіз стійкості САУ, заснований на обчисленні коріння
характеристичного рівняння, пов’язаний з необхідністю обчислення
коріння, що є непростим завданням.
Способи визначення стійкості САУ без обчислення коріння
характеристичного рівняння називаються критеріями стійкості САУ.
Розрізняють дві групи критеріїв стійкості: алгебра – засновані на
аналізі коефіцієнтів характеристичного рівняння, і частотні – засновані
на аналізі частотних характеристик САУ.
Критерій Рауса є системою нерівностей, складених по особливих правилах
з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкнутої САУ.
Критерій Гурвіца дозволяє визначити стійкість САУ, якщо характеристичне
рівняння замкнутої системи представлене у вигляді:
Частотні критерії стійкості – це графоаналітичні методи, що дозволяють
по вигляду частотних характеристик САУ судити про їх стійкість.
Критерій Михайлова – це частотний критерій, що дозволяє судити про
стійкість замкнутої системи по поведінці її характеристичного вектора на
комплексній площині.
Критерій Найквіста – це частотний критерій, що дозволяє судити про
стійкість САУ, замкнутим одиничним зворотним зв’язком, по вигляду
амплитудно-фазової частотної характеристики розімкненої системи.
Список використаної літератури:
1. HYPERLINK “http://www.piter.com/publish/authors/23906/146900350/”
Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы.
HYPERLINK “http://www.piter.com/search.phtml?seriya=502” Учебное
пособие .1-е изд.- Спб.: Питер, 2005.- 336 с.
2. Гальперин м. В. Автоматическое управление. М.: «Форум: ИФРА-м», 2004,
224с.
3. Нитушило а.В. Теория автоматического управления. – М., 1999.
4. Ротач в.В. Теорія автоматичного управління. – М., 1995.
5. Лукас В. А. Теорія автоматичного управління. – М.: Надра, 1990. – 416
с.
6. Череванів В. Н. і ін. Теорія автоматичного управління. – М: Вища
школа, 2000.
7. Бесекерський в.А., Попов е.П. Теорія систем автоматичного
регулювання. — М.: Наука, 1975.
8. Теорія автоматичного управління. Навчань. для вузів по спец.
“Автоматика і телемеханіка”. У 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А. Воронів і др.:
Під ред. А.А. Вороняча. – 2-е видавництво, перераб. і доп. – М.: Висш.
шк., 1986. – 367с., мул.
9. Переборов а.С., Брилєєв а.М. і др.Теоретичні основи
залізничної автоматики і телемеханіки.- 3-і изде., перераб. і доп.-
М.:«ТРАНСПОРТ», 1984.
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
