Курсова робота
на тему:
Топологічні структури
Зміст
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 4
І. Відкриті множини; околи; замкнені множини . . . . . . . .
. 6
1. Відкриті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 6
2. Околи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 6
3. Фундаментальні системи околів; базиси топології . . .8
4. Замкнуті множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 8
5. Локально кінцеві сімейства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .8
6. Внутрішність, замикання, межа множини, скрізь
щільні множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 9
ІІ. Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 11
Неперервні функції . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Порівняння топологій . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Ініціальні топології . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 13
ІІІ. Підпростори; факторпростори . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 15
Підпростори топологічного простору . . . . . . . . . . . . 15
Неперервність щодо підпростору . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Локально замкнуті підпростори . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV. Добуток топологічних просторів . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 17
Добуток просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .17
Замикання в добутку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 17
V. Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 19
Відкриті і замкнуті відображення . . . . . . . . . . . . . . . 19
Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності . . . 19
Спеціальні властивості замкнутих відображень . . . . 20
VI. Віддільні і регулярні простори . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 22
Віддільні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 22
Продовження по неперервності . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
Відношення еквівалентності в регулярному просторі 24
VII. Компактні і локально компактні простори . . . . . . . .
. . 26
Квазікомпактні і компактні простори . . . . . . . . . . . . . . 26
Регулярність компактного простору . . . . . . . . . . . . . . . 27
Квазікомпактні, компактні і відносно компактні
множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .27
Образ компактного простору при неперервному
відображенні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 28
Добуток компактних просторів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Локально компактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
Локально компактні простори, зліченні в
Нескінченості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 31
Паракомпактні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 31
VIII. Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .33
Ідеальні відображення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 33
Характеризація ідеальних відображень властивостями композиції . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Ідеальні відображення в локально компактних
Просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 34
IX. Зв’язність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .36
Зв’язні простори і множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.36
Факторпростори зв’язного простору . . . . . . . . . . . . . . . 36
Зв’язні компоненти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 36
Локально зв’язні простори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 37
Застосування, теорема Пуанкаре-Вольтерра . . . . . . . . . .37
Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .40
Вступ
підмножин множини X , що володіє наступними властивостями:
.
.
Дана курсова робота складається із дев’яти розділів.
В першому розділі мова йде про замкнені множини, відкриті множини,
околи, базиси топології, про скрізь щільні множини, про ніде не щільні
множини. Зокрема, наведені означення топологічного простору,
гомеоморфізму.
У другому розділі розглядаються неперервні функції, порівняння топологій
та ініціальні топології, сформульоване твердження, про те, що композиція
двох неперервних відображень є неперервною. Тут наведене також означення
ініціальної топології.
Третій розділ розкриває нам поняття підпростору топологічного простору,
локально замкнуті підпростори.
У четвертому розділі розглядаються добутки просторів і замикання
просторів , наведене твердження:
їх замикань.
В п’ятому розділі розповідається про відкриті і замкнуті відображення.
Шостий розділ розглядає віддільні і регулярні простори.
У сьомому розділі наведені поняття про компактні і локально компактні
простори.
Топологічний простір називається компактним . якщо він квазікомпактний і
віддільний.
Локально компактним є топологічний простір X, якщо він віддільний і
будь-яка його точка має компактний окіл.
У цьому розділі означено також паракомпактний простір.
Топологічний простір X називається паракомпактним, якщо він віддільний і
задовольняє умовам наступної аксіоми:
.
У восьмому розділі розповідається про ідеальні відображення.
замкнуте.
У дев’ятому розділі йде мова про зв’язність.
Топологічний простір X називається зв’язним, якщо він є об’єднаннням
двох неперетинних не порожніх відкритих множин.
І. Відкриті множини; околи; замкнуті множини
1. Відкриті множини
підмножин множини X, що володіє наступними властивостями:
.
.
називаються відкритими множинами топологічної структури.
Означення . Топологічним простором називають множину, наділену
топологічною структурою.
Елементи топологічного простору часто називаються точками. Множина X, в
якій визначена топологія, називається носієм топологічного простору X.
І підмножини А топологічного простору X називають відкритим, якщо всі
Uі – відкриті множини в X.
Означення. Гомеоморфізмом топологічного простору X на топологічний
простір X’ називають ізоморфізм топологічної структури простору X на
топологічну структуру простору X’, тобто бієкцію X на X’, що
перетворює множиту всіх відкритих множин з X в множину всіх відкритих
множин з X’.
Говорять, що X і X’ гомеоморфні, якщо існує гомеоморфізм X на X’.
Означення гомеоморфізма безпосередньо зводиться до наступного критерію:
для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний простір
X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб образ при
відображенні f всякої відкритої множини з X була відкритою множиною в
X’, а прообраз відносно f всякої відкритої множини з X’- відкритою
множиною в X
2. Околи
Означення. Околом множини А в топологічному просторі X називають всяку
множину, яка містить яку-небудь відкриту множину, яка містить А. Окіл
одноелементної множини { х} називають також околам точки х.
Твердження. Для того, щоб множина була околом кожної своєї точки,
необхідно і достатньо, щоб вона була відкритою.
(х) володіють наступними властивостями:
(х).
(х) .
(х).
W.
(х) є характеристичними.
X
(y) що і потрібно було довести.
3. Фундаментальні системи околів; базиси топології
V.
.
Означення. Базисом топології топологічного простору X називають всяку
множину ss відкритих множин з X, таку, що будь-яка відкрита множина в X
є об’єднанням множин, що належать ss .
4. Замкнуті множини
Означення. Замкнутими множинами в топологічному просторі X називають
доповнення відкритих множин.
(О’І) Всякий перетин замкнутих множин є замкнута множина.
(О’ІІ) Об’єднання будь-якого сімейства замкнутих множин є замкнута
множина.
Порожня множина і весь простір X замкнуті.
І множини А в топологічному просторі X називається замкнутим, якщо всі
Fі замкнуті в X.
Гомеоморфізм f топологічного простору X на топологічний простір X’ може
бути ще охарактеризований як бієкція X на X’, при якій образ всякої
замкнутої множини з X є замкнута множина в X’, а прообраз всякої
замкнутої множини з X’ є замкнута множина в X.
5. Локально кінцеві сімейства
на себе.
Твердження. Об’єднання локально кінцевої сім ’ї замкнутих множин
топологічного простору X замкнуте в X.
точки х. Отже, F відкрита.
6. Внутрішність, замикання, межа множини; скрізь щільні множини
всіх внутрішніх точок множини А називається його внутрішністю і
позначається A
Для того, щоб множина була відкритою, необхідно і достатньо, щоб
воно співпадало з своєю внутрішністю.
В.
.
Для замкнутості множини необхідно і достатньо, щоб вона співпадала з
своїм замиканням.
Означення. Точку х топологічного простору X називають граничною точкою
множини А, якщо вона є точкою дотику одночасно для А і для СА; множина
всіх граничних точок множини А називають межею цієї множини.
. Гранична точка х множини А характеризується тим, що будь-який її окіл
містить принаймні одну точку з СА; сама точка х може як належати, так і
не належати А. Межа А співпадає з межею СА; якщо взяти внутрішність А,
зовнішність А і межу А, то ті з цих трьох множин, які не порожні,
утворюють розбиття простору X.
А не порожній..
Card ( ss).
ІІ. Неперервні функції
1. Неперервні функції
V випливає
.
Твердження. Нехай f – відображення топологічного простору X в
топологічний простір X’ . Якщо f неперервне в точці х, а х – точка
дотику множини А в X, то f (х) – точка дотику множини f (А) в X’ .
; цим доведено, що f (х) – точка дотику множини f (А).
f простору X в X” неперервне в точці х
Означення. Відображення топологічного простору X в топологічний простір
X’ називають неперервним на X , якщо воно неперервне в кожній точці з
X.
Приклади. 1) Тотожне відображення топологічного простору X на себе є
неперервне.
2) Постійне відображення топологічного простору в топологічний простір
неперервне.
3) Всяке відображення дискретного простору в топологічний простір
неперервне.
Теорема. Нехай f – відображення топологічного простору X в топологічний
простір X’; наступні властивості рівносильні:
а) f неперервне на X;
Х;
в) прообраз всякої замкнутої множини із X’ є замкнута множина в X;
г) прообраз всякої відкритої множини з X’ є відкрита множина в X.
f-1(V’), оскільки f-1(А’) відкрите, f-1(V’) є околом точки х в X,
чим доведено, що з г) випливає а).
Х” неперервна.
2. Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб і f і
обернена до f бієкція g були неперервні.
Х’ буде неперервне, але не буде гомеоморфізмом.
2. Порівняння топологій
?2, то говорять, що ?1 сильніше ?2.
Твердження. Нехай ?1, ?2 – топології в множині X. Наступні твердження
рівносильні:
а) ?1 мажорує над ?2.
Х, будь-який окіл х в топології ?2 є околом х в топології ?1.
Х замикання А в топології ?2 містить замикання А в топології ?1.
г) Всяка множина з X, замкнута в ?2, замкнута в ?1.
д) Всяка множина з X, відкрита в ?2, відкритав ?1.
Зауваження. 1) У впорядкованій множині топологій в множині X дискретна
топологія найсильніша, а топологія, єдиною відкритою множиною якої є O і
X, найслабкіша.
2) Чим топологія сильніша, тим більше відкритих множин, замкнутих
множин, околів; замикання множини тим менше, чим топологія сильніша; чим
топологія сильніша, тим менше скрізь щільних множин.
Х’ залишиться неперервним при заміні топології в X мажоруючою
топологією. Інакше кажучи, неперервних відображень X в X’ тим більше,
чим топологія в X сильніша, а топологія в X’ слабкіша.
3.Ініціальні топології
g була неперервна в точці z.
.
ІІІ. Підпростори; факторпростори
1. Підпростори топологічного простору
Означення. Нехай А – множина в топологічному просторі X. Топологією, що
індукується в А топологією простору X, називається топологія, відкритими
множинами якої служать сліди на А відкритих множин з X. Множина А,
наділене цією топологією, називається підпростором простору X .
Множина, відкрита в підпросторі А, не обов’язково є відкритою в X: для
того, щоб будь-яка відкрита множина в А було відкритою в X, необхідно і
достатньо, щоб А була відкритою в X.
Замкнуті множини в А – це сліди на А замкнутих множин з X, як і вище,
переконуємося, що для того, щоб будь-яка замкнута множина в А було
замкнутою в X, необхідно і достатньо, щоб А була замкнута в X.
А відносно А – це сліди на А околів х відносно X; для того, щоб
будь-який окіл точки х відносно А був околом точки х відносно X,
необхідно і достатньо, щоб А була околом точки х в X.
множини В в X.
2. Неперервність щодо підпростору
X необхідно і достатньо, щоб відображення простору X в підпростір В
простору Y, що має той же графік, що і f, було неперервне в точці х.
А є відображенням підпростору А вY, неперервне в точці x.
А неперервне в точці х, то і f неперервне в точці х, бо всякий окіл
точки х відносно А буде околом х відносно X (локальний характер
неперервності).
І – сім’я підмножин топологічного простору X, внутрішність яких утворює
відкрите покриття останнього, або яке є локально кінцевим замкнутим
покриттям простору X. Нехай f- відображення X в топологічний простір X’.
Якщо звуження f на кожному з підпросторів Аі неперервне, то f
неперервне.
3. Локально замкнуті підпростори
V замкнутий щодо підпростору V. L називається локально замкнутою в X,
якщо вонa локально замкнутa в кожній своїй точці.
Твердження. Для підмножини L топологічного простору X наступні умови
рівносильні:
а) L локально замкнутa;
в X;
в)L є перетин відкритої і замкнутої підмножин простору X.
.
Х’ – неперервне відображення; тоді прообраз f-1(L’) будь-якої локально
замкнутої множини L’з X’ локально замкнутий в X.
IV. Добуток топологічних просторів
1. Добуток просторів
І) називають просторами-співмножниками добутку X.
Y, необхідно і достатньо, щоб всі fi були неперервні в точці а.
є гомеоморфізм.
, і ? – слабша з топологій в X, при яких неперервні всі fi. Тоді ? є
прообраз відносно f топології, що індукується в f (X) топологією
добутку Y
2.Замикання в добутку
.- необхідно і достатньо, щоб Аі, було замкнутим в Хі при
будь-якому і.
.
Х, у яких рr ix=аi для всіх, крім скінченого числа, індексів і, скрізь
щільна в X.
V. Відкриті і замкнуті відображення
1. Відкриті і замкнуті відображення
Х’ відкрите(замкнуте), якщо образ при відображенні f всякої відкритої (
замкнутої) множини з X відкритий ( замкнутий) в X’.
Зокрема, f (Х ) є тоді відкритою (замкнутою) множиною в X’.
Х була відкритою ( замкнутою), необхідно і достатньо, щоб А була
відкритою ( замкнутою) в X.
2) Для того, щоб бієкція f топологічного простору X на топологічний
простір X’ була гомеоморфізмом, необхідно і достатньо, щоб вона була
неперервною і відкритою або безперервною і замкнутою.
X”- відображення. Тоді:
f відкрита (замкнута).
б) Якщо g • f відкрита ( замкнута), а f сюр’ективне і неперервне, то g
відкрите (замкнуте).
в) Якщо g ° f відкрита ( замкнута), а g ін’єктивне і неперервне, то f
відкрите ( замкнуте).
Х маємо f (А)= g-1(g (f (А))); за припущенням, якщо А відкрита (
замкнута) в X, то g (f (А)) відкрита ( замкнута) в X”, і, отже f (А)
відкрита ( замкнута) в X’.
2. Відкриті і замкнуті відношення еквівалентності
Означення. Відношення еквівалентності R в топологічному просторі X
називають відкритим ( замкнутим), якщо канонічне відображення X на Х/R
відкрите ( замкнуте).
Y канонічний розклад f. Наступні три властивості рівносильні :
а) f – відкрите відображення.
б) Відображення p, h, i-відкриті.
в) Відношення еквівалентності R відкрите, h -гомеоморфізм і f(X)-
відкрита множина в Y.
Крім того, все попереднє залишається в силі , якщо усюди замінити
«відкрите» на «замкнуте».
Х/R , А – множина в X.
Припустимо, що виконується одна з наступних двох умов:
а) А відкрита (замкнута) в X.
б) А насичене по R.
Тоді відношення RА, що індукується відношенням R в А, відкрите
(замкнуте) і канонічне відображення простору A/RА на f(A) є
гомеоморфізмом.
l
i
?Список використаної літератури Бурбаки Н. Общая топология. – М., Наука, 1957. Александров П.С. Введение в теорію множеств и общую топологію. – М., Наука, 1977. Енгелькинг Р. Общая топология. – М., Мир, 1986. Куратовський К. Топология. Т. 1. – М., Мир, 1966. Куратовський К. Топология. Т. 2. – М., Мир, 1969. PAGE PAGE 2
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter