Реферат на тему
Стаціонарне магнітне поле у вакуумі
І. Теоретичні питання
Повторення.
Струм. Сила і густина струму. Взаємодія струмів. Закон Ампера. [4]
Магнітне поле. Індукція магнітного поля. Закон Біо-Савара-Лапласа. [4]
Принцип суперпозиції магнітних полів. [4]
Основні поняття і закони
:
. (2.1)
– вектор, напрямлений по нормалі до площини поперечного перерізу
провідника з струмом, довжина якого дорівнює площі елемента поверхні
перерізу ?. Густина струму системи зарядів визначається із закону
збереження сумарного заряду, диференціальна форма запису якого має
вигляд:
,
з якого випливає, що у випадку стаціонарних (не залежних від часу)
струмів
. (2.2)
діє сила Ампера
, (2.3)
а на елемент його об’єму dV –
. (2.4)
діє сила Лоренца
. (2.5)
, дорівнює
. (2.6)
Новий матеріал.
Магнітне поле, створюване заданим розподілом струмів. Векторний
потенціал, його зв’язок з індукцією магнітного поля. [2, 3]
Магнітне поле обмеженої системи струмів (магнітне мультипольне
роз-винення). Магнітний момент. [2, 3]
Стаціонарне магнітне поле в магнітнодипольному наближенні. Потенці-ал і
індукція магнітного диполя. [2, 3]
Енергія магнітного поля постійних струмів. Сили, що діють на струми в
магнітному полі. [2, 3]
Величина і напрям вектора індукції поля системи струмів однозначно
визначаються з системи рівнянь Максвелла. Для стаціонарного магнітного
поля у вакуумі вона має вигляд
(2.7)
– перше рівняння магнітостатики, та
(2.8)
– друге рівняння магнітостатики.
системою стаціонарних струмів, розподілених у деякій області простору
? є вектор
, (2.9)
цієї області.
Вираз (2.9) можна також подати у вигляді
, (2.10)
де
(2.11)
– векторний потенціал поля. Це означає, що поряд з індукцією, векторний
потенціал також можна вважати характеристикою магнітного поля. Щоправда,
перша з властивостей (1.8) диференціальних операторів свідчить про
неоднозначність вибору векторного потенціалу – його можна визначити з
точністю до довільного вектора grad?. Як правило, векторний потенціал
постійних магнітних полів вибирається таким, щоби виконувалася умова
. (2.12)
Тоді його можна визначити як розв’язок диференціального рівняння другого
порядку
(2.13)
за відомим розподілом струмів.
у кожній точці області існування струмів, а сама область являє собою
тіло правильної геометричної форми, наприклад, циліндр, кулю і т.п. У
багатьох випадків реально існуючих систем струмів хоча б одна з цих умов
не виконується.
У цих випадках, аналогічно до того, як це робиться в електростатиці,
магнітне поле шукають наближено, здійснюючи розвинення векторного
потенціалу за мультиполями. Першим ненульовим членом такого розвинення є
векторний потенціал си-
стеми струмів у магнітнодипольному наближенні
, (2.14)
де
(2.15)
– магнітний дипольний момент системи. Індукція магнітного поля в цьому
наближенні
. (2.16)
Магнітнодипольне наближення добре описує реальні магнітні поля систем
струмів довільних конфігурацій, обмежених у скінченій області простору
?, якщо вони характеризуються відмінним від нуля магнітним моментом, а
відстані до них значно перевищують їхні розміри (такі системи називають
магнітними диполями).
Знання індукції магнітного поля дозволяє встановити силу його взаємодії
з прямолінійним струмом (сила Ампера), рухомим точковим зарядом (сила
Лоренца), та енергії магнітного поля у вакуумі
, (2.17)
де інтегрування проводиться по усіх точках області ?, включно з її
межами. З (2.17), зокрема випливає, що величина
(2.18)
визначає густину енергії магнітного поля у вакуумі.
, енергія системи у зовнішньому магнітному полі
. (2.19)
Енергія взаємодії системи, що володіє магнітним моментом, з зовнішнім
магнітним полем
, (2.19)
а сили, що діють на неї,
, (2.20)
створюють момент
. (2.21)
IІІ. Основні типи задач стаціонарних магнітних полів, методика їх
розв’язування і приклади
Тип 1. Розрахунок характеристик поля за даним розподілом лінійних
струмів.
Методика розв’язування. У випадку лінійних струмів для знаходження
індукції використовують результат інтегрування закону Біо-Савара-Лапласа
(2.6) – формулу (2.9), або її подання у іншому вигляді:
, (2.25)
– елемент контуру, орієнтований в напрямку протікання струму).
Приклад 2.1а. Визначити індукцію поля, створеного у вакуумі тонким
прямолінійним провідником довжиною l, по якому протікає постійний струм
силою І.
Розв’язування. Спрямуємо вісь Oz вздовж провідника, початок системи
координат розмістимо у його центрі, тоді за (2.9)
.
, так що вектор індукції лежить у площині, перпендикулярній до
провідника і має наступні компоненти:
,
.
= (x, y, z)
,
або
,
де через a позначено відстань від точки спостереження до прямої, вздовж
якої напрямлений провідник. Звідси, зокрема, для випадку нескінченно
довгого провідника одержується
.
Тип 2. Визначення векторного потенціалу і індукції магнітного поля
однонапрямленого розподілу струму (плоскі задачі магнітостатики).
Методика розв’язування. Індукція і векторний потенціал поля, заданого
однонапрямленого розподілу струму можна визначити одним з наступних
методів:
а) Шляхом безпосереднього інтегрування за формулами (2.9) і (2.11) у
випадку об’ємно розподіленого струму або за формулами
(2.26)
;
б) Використання закону повного струму для знаходження вектора індукції
магнітного поля
, (2.27)
|
//////////eeeeeeeeeeeeeeeee
Oe-LT ¦ (!.!”!TH$l%oooooooooooooooooooooooooooo
8?8E8L9n9o9o9?:¬:oooooooooooooooooooooooooooo
G¶H¬I$JEJvKoooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooooooooooooooo
’язку його з векторним потенціалом (2.10);
(порівняйте умови і результати прикладів 1.2б і 2.2б).
Приклад 2.2а. Струм силою І рівномірно розподілений по поверхні плоского
кільця, внутрішній і зовнішній радіуси якого, відповідно, R1 і R2.
Визначити індукцію поля у точках, розташованих на вісі кільця.
Розв’язування. Спрямуємо вісь Oz вздовж вісі кільця, початок системи
координат розмістимо у його центрі. Розглянемо елемент кільця
нескінченно малої ширини dr?, видимий з початку координат під кутом d? і
віддалений від нього на відстань r?. Тоді, згідно (2.26)
.
на вісь Oz, тобто
.
Приклад 2.2б. Вздовж прямолінійної, однорідної, нескінченно довгої і
тонкої смужки шириною a пропускають постійний струм силою I. Знайти
індукцію і векторний потенціал поля, створеного цим струмом.
=(I/a, 0, 0), так що
.
Тоді Bx = 0,
,
а
=(x, y, z) вектор індукції напрямлений вздовж вісі OY і набуває
значення
.
Маючи вираз для вектора індукції, шукаємо векторний потенціал,
використовуючи рівність
,
яка еквівалентна системі рівнянь
.
, тому виберемо його таким, щоби виконувалися рівності
.
Тоді
.
Легко переконатись, що для одержаного векторного потенціалу умова (2.12)
виконується.
Тип 3. Розрахунок енергій і сил, що діють на струми і диполі у зовнішніх
магнітних полях.
Методика розв’язування. У випадку струмів, що знаходяться у зовнішніх
магнітних полях, сили визначаються шляхом безпосереднього інтегрування
співвідношень (2.3) або (2.4); у випадку систем, що володіють магнітним
дипольним моментом – використовують (2.20) і (2.21). Якщо відома енергія
W взаємодії струму з зовнішнім полем, то силу, що діє на струм можна
знайти з співвідношення
.
Для знаходження енергій потрібно використовувати формули (2.17) або
(2.19).
Приклад 2.3а. Нескінчений прямолінійний струм I1 і круговий струм I2
радіуса R лежать у одній площині. Відстань від центра кругового струму
до прямолінійного дорівнює b > R. Знайти енергію і силу взаємодії
струмів.
Розв’язування. Енергія взаємодії кругового струму I2 з полем, створеним
прямолінійним струмом I1 знайдемо, використовуючи (2.19):
.
З розв’язку прикладу 2.1а видно, що вектор індукції поля, створеного
прямолінійним струмом, перпендикулярний до площини, у якій знаходиться
контур C з струмом I2, а його величина
.
Розмістивши початок полярної системи координат у центрі кільця C,
спрямуємо полярну вісь до прямолінійного струму, перпендикулярно до його
напрямку. Тоді відстань довільного елемента d? круга – внутрішності
контуру C, – який ми виберемо у якості поверхні ?, до прямолінійного
струму
,
а площа цього елемента d? =r dr cos?. Тоді
.
Енергія взаємодії заданих струмів залежить тільки від відстані між ними
b, тому шукана сила
.
. Визначити силу взаємодії цих струмів і моменти сил для кожного з них.
Розв’язування. Енергія взаємодії магнітних диполів визначимо з
співвідношення
,
де
. Тоді
.
Моменти сил, що діють на струми знаходимо за формулою (2.21):
,
.
IV. Задачі для самостійного розв’язування
2.1. По тонкому провіднику, зігнутому у вигляді кільця радіуса R,
протікає струм силою I. Знайти індукцію поля у точці, розташованій на
вісі кільця на висоті h над його площиною.
– одиничний вектор нормалі до площини кільця, що утворює з напрямком
протікання струму правогвинтову систему.
2.2. По тонкостінному провіднику у формі порожнистого прямого кругового
циліндра радіуса R нескінченної довжини протікає постійний струм,
поверхнева густина якого j? однакова у кожній точці провідника. Напрям
струму співпадає з напрямком осі провідника. Визначити індукцію і
векторний потенціал поля у точці, віддаленій на відстань r від осі
циліндра.
Відповідь. B = 0 і A = 0 при r R – B = ?0 j? R/r, A= ?0
j? R ln(R/r).
2.3. По провіднику у формі прямого кругового циліндра радіуса R
нескінченної довжини протікає постійний струм, густина якого j однакова
у кожній точці провідника. Визначити індукцію і векторний потенціал поля
у точці, віддаленій на відстань r від осі циліндра.
Відповідь. B = ?0 j r/2, A = -?0 j r2/4 при r R.
2.4. По провіднику у формі порожнистого прямого кругового циліндра
нескінченної довжини з внутрішнім радіусом R1 і зовнішнім R2 протікає
постійний струм, густина якого j однакова у кожній точці провідника.
Визначити індукцію і векторний потенціал поля у точці, віддаленій на
відстань r від осі циліндра.
Відповідь. B = 0 і A = 0 при r R2.
2.5. Струм сили I протікає по нескінченно тонкому провіднику у формі
рівностороннього трикутника з стороною a. Знайти індукцію поля,
створеного цим струмом на великих відстанях r від нього.
– одиничний вектор нормалі до площини трикутника, що утворює з
напрямком протікання струму правогвинтову систему.
2.6. Маленька магнітна стрілка може вільно обертатись навколо своєї осі.
На деякій віддалі від неї знаходиться інша стрілка, нерухомо закріплена
у площині обертання першої піл кутом ? до прямої, що сполучає їх центри.
Визначити результат дії на першу стрілку з боку поля, створеного другою.
Відповідь: Перша стрілка встановиться під кутом ? до прямої, що їх
сполучає, таким, що tg ? = – 0,5 tg ?..
Рекомендована література
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. ч. II. – М.:
Наука, 1973.
Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. –
М.: Наука, 1985.
В.В. Никольский. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.:
Наука, 1978.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976.
Семенов Н.А. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1973.
Витевский В.Б., Павловская Э.А. Электромагнитные волны в технике связи.
– М.: Радио и связь, 1995.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1977.
Теоретична електротехніка.- Львів: ЛНУ, 2002.- 185с.
Малинівський Степан Миколайович Загальна електротехніка.- Львів: Вид-во
“Бескид Біт”, 2003.- 640с.
Мазуренко О.Г., Шуліка В.П., Журавков О.В. Трансформатори та електричні
машини (Електротехніка. Ч.2).- Вінниця: Нова Книга, 2005.- 176с.
Паначевний Борис Іванович., Свергун Юрій Федорович Загальна
електротехніка: теорія і практикум.- К.: Каравела, 2003.- 440с.
Наукові праці Донецького національного технічного університету: Сер.
“Електротехніка і енергетика”. Вип. 67/ Голов. ред. Є.О.Башков.-
Донецьк: ДонНТУ, 2003.- 204с.- 7.00
PAGE
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
