Реферат на тему
Електромагнітні хвилі у речовині
І. Теоретичні питання
Повторення.
Вільні і зв’язані заряди. Діелектрики. Електрична поляризація. [4]
Магнетики. Намагніченість. [4]
Струми провідності, намагнічування і поляризації. [4]
Рівняння Максвелла для середовища. Матеріальні рівняння. Граничні умови.
[4]
Основні поняття і закони
– (дипольний момент одиниці об’єму:
, (4.1)
, що містяться у об’ємі V речовини.
Існування дипольних моментів у об’ємі речовини приводить до появи
електричного поля. З вигляду потенціалу цього поля, згідно з (1.31 –
32), можна зробити висновок, що існування ненульового вектора
поляризації рівносильне існуванню в речовині зв’язаних зарядів густина
яких
,
або у іншій формі
. (4.2)
З цього випливає, що зв’язані заряди відсутні у середовищах, молекули
яких не поляризуються (наприклад, у провідниках), або поляризація яких
однорідна. Неоднорідність поляризації середовища рівносильна появі у
ньому струмів поляризації, густина яких, згідно закону збереження
заряду, визначається швидкістю зміни вектора поляризації:
. (4.3)
у кожного елемента її об’єму. Кількісною мірою намагнічування речовини
є її намагніченість (магнітний момент одиниці об’єму) – вектор
, (4.4)
, що містяться у об’ємі V речовини. Із співвідношень (2.14) і (2.11)
випливає, що намагнічування речовини еквівалентне появі у ній струмів
намагніченості, густина яких
. (4.5)
Наявність зв’язаних зарядів, струмів поляризації і струмів
намагніченості призводить до того, що характеристики поля у речовині
відрізняються від характеристик поля у вакуумі. Електромагнітне поле у
речовині описується системою рівнянь Максвелла-Лоренца
(4.6)
Тут
(4.7)
– вектор зміщення (індукція електричного поля),
(4.8)
– напруженість магнітного поля, ? і ? – відносні, відповідно,
діелектрична і магнітна проникності середовища. Співвідношення (4.7),
(4.8) разом з законом Ома у диференціальній формі
, (4.9)
що визначає густину струму вільних зарядів у речовині з питомою
провідністю ? (струм провідності), називаються матеріальними рівняннями.
) у речовині, властивості якої визначаються матеріальними рівняннями
через значення її констант ?, ? та ?. На відміну від вільного простору,
що вважається однорідним, вектори поля на межі розділу середовищ з
різними діелектричними і магнітними проникностями їх компоненти повинні
задовольняти граничним умовам:
Dn1 – Dn2 = ?в, E?1 = E?2, (4.10)
Bn1 = Bn2, H?1 – H?2 = jпов. (4.11)
– поверхнева густина струмів провідності.
Новий матеріал.
Потенціали поля у середовищі, рівняння для потенціалів. Густина енер-гії
і густина потоку енергії електромагнітного поля у речовині. [2, 3]
Електромагнітні хвилі у речовині. Електронна теорія дисперсії і
поглинання електромагнітних хвиль. [2, 3]
Аналогічно до поля у вакуумі, значно спрощується, якщо ввести потенціали
поля такі, що
. (4.12)
Тоді система чотирьох рівнянь (4.6) зводиться до системи двох
диференціальних рівнянь другого порядку (рівнянь поля в потенціалах):
(4.13)
які пов’язані між собою калібрувальною умовою Лоренца
, (4.14)
де
(4.15)
– швидкість поширення хвилі.
, (рівнянь Гельмгольца):
, (4.16)
де k = ?/v. Її розв’язком є залежні від координат і часу векторні
функції
,
. (4.17)
– комплексні амплітуди, які у кожній точці поля задовольняють умовам
типу (3.16):
. (4.18)
раз.
У реальних середовищах поширення електромагнітних хвиль супроводжується
втратами їх енергії. Оцінку таких втрат можна встановити, якщо ввести
поняття комплексної діелектричної проникності середовища:
,
де tg? = ???a / ??a – тангенс кута діелектричних втрат. Тоді і хвильовий
вектор стає комплексним
.
, де
(4.19)
– (комплексне) хвильове число, а
(4.20)
– комплексний показник заломлення. Підставляючи (4.19) у (4.17),
одержуємо співвідношення
,
(4.21)
.
з швидкістю v = c/n. При цьому з (4.18) випливає, що ця хвиля
поперечна, вектори напруженості електричного і індукції магнітного полів
коливаються у взаємно перпендикулярних площинах за гармонійним законом
,
(4.22)
з однаковими фазами, причому
. (4.23)
Комплексні амплітуди таких хвиль
і
.
Групова швидкість хвильового пакету, утвореного суперпозицією
монохроматичних хвиль (4.22)
(4.24)
співпадає з фазовою тільки за відсутності дисперсії (dv/d?=0). Для
середовищ з нормальною дисперсією u > v, з аномальною – навпаки.
xӠ
?
®
°
?
?
+?+o+ ,oooooooooooooooooooooooooooo
??
jj
@¦@ZA?A?AIAoooooooooooooooooooooooooooo
L?oooooooooooooooooooooooooooo
j
норідної плоскої електромагнітної хвилі, для якої площини рівних фаз,
рівняння яких
не співпадають з площинами однакових амплітуд
.
У випадку стаціонарного поля у провідниках об’ємні заряди відсутні (? =
0) і розв’язок системи (4.13) виявляється аналогічним до розглянутого
випадку діелектричного середовища, з тією різницею, що дійсна і уявна
частини комплексного показника заломлення виявляються залежними від
питомої провідності ?:
.(4.25)
. Тому у металах електромагнітні хвилі дуже швидко згасають.
У технічній електродинаміці прийнято характеризувати електромагнітну
хвилю наступними параметрами: довжина хвилі ?, частота f, фазова і
групова швидкості, коефіцієнт згасання хвилі (дійсна частина
комплексного хвильового числа) ? = ??/с, коефіцієнт фази (уявна частина
комплексного хвильового числа) ? = ?п/с і характеристичний опір хвилі
= 120? ? 377 Ом.
IІІ. Основні типи задач електромагнітного поля у речовині, методика їх
розв’язування і приклади
Тип 1. Розрахунок характеристик стаціонарних полів за даним розподілом
зарядів і струмів середовищі.
Методика розв’язування. Аналогічно до шляху розрахунку поля у вакуумі.
Відмінність результатів полягає у появі множників ??0 та ??0 замість ?0
та ?0.
Приклад 4.1. Обчислити енергію взаємодії пари прямолінійних,
паралельних, нескінченно довгих і тонких заряджених провідників.
Провідники рівномірно заряджені і знаходяться у діелектричному
середовищі з діелектричною проникністю ? на відстані a один від одного.
Розв’язування. Викладки, аналогічні зробленим у прикладі 1.5б приводять
до результату
.
Тип 2. Визначення характеристик електромагнітної хвилі у середовищі.
Методика розв’язування. Використання рівнянь поля у потенціалах (4.13),
їх розв’язків у вигляді (4.17) або (4.22), та означень параметрів хвилі.
Приклад 4.2. Записати рівняння плоскої монохроматичної електромагнітної
хвилі, що поширюється протилежно осі Ox у прозорому (? = 0) немагнітному
(? = 1) середовищі з показником заломлення n, маючи праву кругову
поляризацію.
здійснює коливання у площині YOZ так, що його компоненти маючи
однакову довжину, зсунуті по фазі на кут 90?. Тоді
,
а взявши до уваги зв’язок (4.17), одержуємо
,
де E0 – амплітудне значення напруженості електричного поля у хвилі.
Тип 3. Розрахунок енергії і імпульсу електромагнітної хвилі та
потужності випромінювання у середовищі.
Методика розв’язування. Безпосереднє використання формул (3.6, 7) для
обчислення енергії і імпульсу, густини яких визначаються формулами (3.8)
і (3.9) через вектори поля. Потужність випромінювання визначається
вектором Пойтінга (3.11); у електродипольному наближенні
використовуються формули (3.27, 28), а у магнітнодипольному – (3.32,
33).
Приклад 4.3 В однорідному ізотропному провідному середовищі поширюється
плоска монохроматична електромагнітна хвиля. Обчислити середній потік
енергії через поверхню куба, бічні ребра якого паралельні до напрямку
поширення хвилі.
Розв’язування. Змінна електрична компонента поля електромагнітної хвилі
збуджує у провіднику струми провідності, оскільки
,
що спричиняє енергетичні втрати на нагрівання провідника. З цієї причини
хвильовий вектор комплексний. Оскільки провідник однорідний, то можна
вважати, що
.
Тоді
.
зсунуті за фазою. Згідно (4.18)
,
звідки
, тому, спрямувавши вісь Ox у напрямку поширення хвилі, заходимо
,
,
та вектор Пойтінга
.
Тоді потік енергії через поверхню куба
де ?1 і ?2 – величини потоку через грані куба, перпендикулярні до
напрямку поширення; площа кожної з них a2 (вектор Пойтінга напрямлений
однаково з хвильовим вектором), причому
.
Середнє за період коливань значення потоку
.
Позначивши x1 = x, x2 = x+a, де x – віддаль від джерела хвилі, одержуємо
.
IV. Задачі для самостійного розв’язування
4.1. Записати рівняння плоскої лінійно поляризованої у напрямку осі Ox
монохроматичної хвилі, що поширюється у прозорому середовищі (? = 0)
вздовж позитивного напрямку осі Oz.
,
, де E0 – амплітуда напруженості електричного поля.
4.2. Записати рівняння плоскої еліптично поляризованої сферичної
монохроматичної електромагнітної хвилі, що поширюється у немагнітному
середовищі з відносною діелектричною проникністю ? і провідністю ?.
Відповідь. У сферичній системі координат, початок якої співпадає з
положенням джерела випромінювання рівняння хвилі має вигляд системи
рівнянь для компонент поля
,
,
,
,
де n і ? – параметри, що визначаються формулами (4.23), а tg ? = = ?/n.
4.3. Визначити частоту і стан поляризації електромагнітної хвилі,
одержаної суперпозицією двох хвиль з однаковими амплітудами E0 і дуже
близькими значеннями частот ?1 і ?2. Хвилі що накладаються поширюються в
однорідному ідеальному прозорому діелектричному середовищі в одному
напрямку і мають протилежну кругову поляризацію.
Відповідь. У системі координат де вісь Oz спрямована вздовж напрямку
поширення хвилі
,
.
Це майже лінійно поляризована хвиля з частотою ? = (?1 + ?2)/2, напрям
поляризації якої повільно обертається з частотою ? = (?2 – ?1)/2.
, якщо довжина хвилі у повітрі ? = 103 м.
Відповідь. ? = 1,6?10-3 См/м, v = 4,3?107 м/с, зсув фаз ?? ? 42?.
5.5. Плоска лінійно поляризована електромагнітна хвиля з круговою
частотою ? = 108 рад/с поширюється у немагнітному (? = 1) середовищі з
питомою провідністю ? = 0,01 См/м і відносною діелектричною проникністю
? = 10. Амплітуда напруженості електричного поля у точці (0, 0, 0) E0 =
0,005 В/м. Знайти характеристики поля і хвилі.
Відповідь. Поле характеризується векторами
В/м,
А/м,
характеристичний опір хвилі Zc = 97,4 ei0,423 Ом, фазова швидкість хвилі
v = 8,5?107 м/с, довжина хвилі ? = 5,35 м.
5.6. Плоска монохроматична лінійно поляризована вздовж осі Oy хвиля, що
поширюється у позитивному напрямку осі Ox у повітрі (? = ? = 1), падає
на плоску рамочну антену. Антена у вигляді квадрата з стороною a лежить
у площині xOy. Знайти е.р.с. індукції, наведеної у антені.
Відповідь: ?і = 2aE0 sin(ak/2) sin(?t- ak/2).
Рекомендована література
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа. ч. II. – М.:
Наука, 1973.
Ахиезер А.И., Ахиезер И.А. Электромагнетизм и электромагнитные волны. –
М.: Наука, 1985.
В.В. Никольский. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.:
Наука, 1978.
Тамм И.Е. Основы теории электричества. – М.: Наука, 1976.
Семенов Н.А. Техническая электродинамика. – М.: Связь, 1973.
Витевский В.Б., Павловская Э.А. Электромагнитные волны в технике связи.
– М.: Радио и связь, 1995.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:
Наука, 1977.
Теоретична електротехніка.- Львів: ЛНУ, 2002.- 185с.
Малинівський Степан Миколайович Загальна електротехніка.- Львів: Вид-во
“Бескид Біт”, 2003.- 640с.
Мазуренко О.Г., Шуліка В.П., Журавков О.В. Трансформатори та електричні
машини (Електротехніка. Ч.2).- Вінниця: Нова Книга, 2005.- 176с.
Паначевний Борис Іванович., Свергун Юрій Федорович Загальна
електротехніка: теорія і практикум.- К.: Каравела, 2003.- 440с.
Наукові праці Донецького національного технічного університету: Сер.
“Електротехніка і енергетика”. Вип. 67/ Голов. ред. Є.О.Башков.-
Донецьк: ДонНТУ, 2003.- 204с.- 7.00
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
