Ряды динамики (реферат)

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Факультет менеджмента

Кафедра ОП И ВЭД

Реферат

по дисциплине: «Статистика»

на тему :

«Ряды динамики»

Выполнил: студент

группы ВЭД-95-1

Иванов Олег

Проверил: ст. преп.

Дружинина И. В.

Тюмень 1999

1. ПОНЯТИЯ И КЛАССИИКАЦИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ

1.1 Понятие о статистических рядах динамики .

Ряды динамики – статистические данные , отображающие развитие во времени
изучаемого явления . Их также называют динамическими рядами , временными
рядами .

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента :

показатель времени t ;

соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо
определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы , кварталы,
месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития
во времени изучаемого явления . Они могут выражаться абсолютными ,
относительными или средними величинами .

Ряды динамики различаются по следующим признакам :

1) По времени . В зависимости от характера изучаемого явления уровни
рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам)
времени, или к отдельным периодам . В соответствии с этим ряды динамики
подразделяются на моментные и интервальные .

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на
определенные даты (моменты) времени . Примером моментного ряда динамики
является следующая информация о списочной численности работников
магазина в 1991 году (таб. 1):

Таблица 1[]

Списочная численность работников магазина в 1991 году

Дата 1.01.91 1.04.91 1.07.91 1.10.91 1.01.92

Число работников , чел. 192 190 195 198 200

Особенностью моментного ряда динамики является то , что в его уровни
могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности . Хотя и в
моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами
, — величина того или иного конкретного уровня не зависит от
продолжительности периода между двумя датами . Так , основная часть
персонала магазина , составляющая списочную численность на 1.01.1991 ,
продолжающая работать в течение данного года , отображена в уровнях
последующих периодов . Поэтому при суммировании уровней моментного ряда
может возникнуть повторный счет .

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные
запасы , состояние кадров , количество оборудования и других показателей
, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты)
времени .

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования)
изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени .

Примером интервального ряда могут служить данные о розничном
товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):

Таблица 2[]

Объем розничного товарооборота магазина в 1987 – 1991 гг.

Год 1987 1988 1989 1990 1991

Объем розничного товарооборота , тыс. р. 885.7 932.6 980.1 1028.7 1088.4

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней
за более короткие промежутки времени . При этом единица совокупности ,
входящая в состав одного уровня , не входит в состав других уровней .

Особенностью интервального ряда динамики является то , что каждый его
уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды)
времени . Например , суммируя товарооборот за первые три месяца года ,
получают его объем за I квартал , а суммируя товарооборот за четыре
квартала , получают его величину за год , и т. д. При прочих равных
условиях уровень интервального ряда тем больше , чем больше длина
интервала , к которому этот уровень относится .

Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени
позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов .

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во
времени поступления и реализации товаров , суммы издержек обращения и
других показателей , отображающих итоги функционирования изучаемого
явления за отдельные периоды .

Статистическое отображение изучаемого явления во времени может быть
представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение
обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых
показателей не только за данный отчетный период , но и с учетом
предшествующих периодов . При составлении таких рядов производится
последовательное суммирование смежных уровней . Этим достигается
суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала
отчетного периода (года , месяца , квартала и т. д.) .

Ряды динамики с нарастающими итогами строятся при определении общего
объема товарооборота в розничной торговле . Так , обобщением товарно –
денежных отчетов за последние операционные периоды (пятидневки , недели
, декады и т. д.) .

2) По форме представления уровней . Могут быть построены также ряды
динамики , уровни которых представляют собой относительные и средние
величины . Они также могут быть либо моментными либо интервальными .

В интервальных рядах динамики относительных и средних величин
непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла , так
как относительные и средние величины являются производными и исчисляются
через деление других величин .

По расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные или
неполные ряды динамики .

Полные ряды динамики имеют место тогда , когда даты регистрации или
окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами . Это
равноотстоящие ряды динамики . Неполные – когда принцип равных
интервалов не соблюдается .

4) По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные
(многомерные) ряды динамики . Если ведется анализ во времени одного
показателя , имеем изолированный ряд динамики . Комплексный ряд динамики
получается в том случае , когда в хронологической последовательности
дается система показателей , связанных между собой единством процесса
или явления .

1.2 Требования , предъявляемые к рядам динамики

1) Сопоставимость статистических данных

Основным условием для получения правильных выводов при анализе рядов
динамики является сопоставимость его элементов .

Ряды динамики формируются в результате сводки и группировки материалов
статистического наблюдения . Повторяющиеся во времени ( по отчетным
периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки
систематизируются в хронологической последовательности .

При этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды ,
в которых могут происходить изменения , приводящие к несопоставимости
отчетных данных с данными других периодов . Поэтому для анализа ряда
динамики необходимо приведение всех составляющих его элементов к
сопоставимому виду . Для этого в соответствии с задачами исследования
устанавливаются причины , обусловившие несопоставимость анализируемой
информации , и применяется соответствующая обработка , позволяющая
производить сравнение уровней ряда динамики .

Несопоставимость в рядах динамики вызывается различными причинами . Это
могут быть разновеликость показаний времени, неоднородность состава
изучаемых совокупностей во времени , изменения в методике первичного
учета и обобщения исходной информации , различия применяемых в различное
время единиц измерения и т. д.

Так , при изучении динамики товарооборота по внутригодовым периодам
несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности показаний
времени (месяцев , кварталов , полугодий)

При отсутствии информации о фактическом времени работы для получения
сопоставимых среднесуточных показателей используется режимное время
работы . Последнее различно в зависимости от выполняемых торговлей
функций и обслуживаемого контингента .

Для розничной торговли возможны следующие варианты режимного времени :

Предприятия , работающие без перерыва в праздничные и выходные дни
(например , дежурные продуктовые и хлебобулочные магазины , рестораны ,
кафе) . Их фонд рабочего времени соответствует календарному ;

Предприятия , не работающие в праздничные дни ( например , городские
рынки) . Их фонд рабочего времени меньше календарного на число ежегодных
праздничных дней ;

Предприятия , не работающие в праздничные и общевыходные дни (например,
городские промтоварные магазины , предприятия общественного питания на
фабриках , в учреждениях и т. д.) . Величина их рабочего времени зависит
от размещения в каждом календарном году праздничных и выходных дней ;

Предприятия , работающие в отдельные периоды времени , сезоны года
(например , городские овощные базары , торговля в местах массового
летнего отдыха и т. д.) .

Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности
изучаемых процессов . Чем больше вариация уровней во времени , тем чаще
следует делать замеры . Соответственно для стабильных процессов
интервалы можно увеличить .

Так , переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет ;
учет национального дохода , урожая ведется один раз в год ; ежедневно
регистрируются курсы покупки и продажи валют , и т. д.

3)Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени .
Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней , если же
такие пропуски неизбежны , то их восполняют условными расчетными
значениями.

1.3 Тенденция и колеблемость в рядах динамики

При сравнении уровней разных лет можно отметить , что в целом показатель
растет . Однако нередки случаи , когда , например , уровень урожайности
предыдущего года оказывается выше , чем в последующем году . Иногда рост
по сравнению с предыдущим годом велик , иногда мал . Следовательно ,
рост наблюдается лишь в среднем , как тенденция . В остальные же годы
происходят колебания , отклоняясь от данной основной тенденции .

Если рассматривать динамические ряды месячных уровней производства
молока , мяса , ряды объема продаж разных видов обуви или одежды , ряды
заболеваемости населения , выявляются регулярно повторяющиеся из года в
год сезонные колебания уровней . В силу солнечно – земных связей частота
полярных сияний , интенсивность гроз , те же изменения урожайности
отдельных сельскохозяйственных культур и ряд других процессов имеют
циклическую 10 – 11 летнюю колеблемость . Колебания числа рождений ,
связанные с потерями в войне , повторяются с угасающей амплитудой через
поколения , то есть через 20 – 25 лет.

Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих
факторов , причин и условий развития , хотя , конечно , после какого –
то периода условия могут измениться и породить уже другую тенденцию
развития изучаемого объекта . Колебания же , напротив , связаны с
действиями краткосрочных или циклических факторов , влияющих на
отдельные уровни динамического ряда , и отклоняющих уровни тенденции то
в одном , то в другом направлении .

Например , тенденция динамики урожайности связана с прогрессом
агротехники , с укреплением экономики данной совокупности хозяйств
совершенствованием организации производства . Колеблемость урожайности
вызвана чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет ,
циклами солнечной активности и т. д.

При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить два ее
основных элемента – тенденцию и колеблемость , чтобы дать каждому из них
количественную характеристику с помощью специальных показателей .
Смешение тенденции и колеблемости ведет к неверным выводам о динамике .

1.4 Структура ряда динамики . Задачи , решаемые с помощью рядов динамики
. Взаимосвязанные ряды динамики .

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде
составляющих :

тренд – основная тенденция развития динамического ряда ( к увеличению
или снижению его уровней) ;

циклические (периодические колебания , в том числе сезонные);

случайные колебания.

С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально –
экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях :

Характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени ;

Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических
показателей ;

Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда) ;

Изучение периодических колебаний ;

Экстраполяция и прогнозирование .

Под взаимосвязанными рядами динамики понимают такие , в которых уровни
одного ряда в какой – то степени определяют уровни другого . Например ,
ряд , отражающий внесение удобрений на 1 га , связан с временным рядом
урожайности , ряд уровней средней выработки связан с рядом динамики
средней заработной платы , ряд среднегодового поголовья молочного стада
определяет годовые уровни надоев молока и т.д.

2. ПОКАЗАТЕЛИ , РАССЧИТЫВАЕМЫЕ НА ОСНОВЕ РЯДОВ ДИНАМИКИ

2.1Статистические показатели динамики социально – экономических явлений
.

Для количественной оценки динамики социально – экономических явлений
применяются статистические показатели : абсолютные темпы роста и
прироста , темпы наращивания и т. д.

В основе расчета показателей рядов динамики лежит сравнение его уровней
. В зависимости от применяемого способа сопоставления показатели
динамики могут вычисляться на постоянной и переменной базах сравнения .

Для расчета показателей динамики на постоянной базе каждый уровень ряда
сравнивается с одним и тем же базисным уровнем . Исчисляемые при этом
показатели называются базисными . Для расчета показателей динамики на
переменной базе каждый последующий уровень ряда сравнивается с
предыдущим . Такие показатели называются цепными .

Способы расчета показателей динамики рассмотрим на данных товарооборота
магазина в 1987 – 1991 гг. (см. таб. 2).

Абсолютный прирост – важнейший статистический показатель динамики ,
определяется в разностном соотношении , сопоставлении двух уровней ряда
динамики в единицах измерения исходной информации . Бывает цепной и
базисный :

(формула 1):

(1)

(формула 2):

(2)

Абсолютный прирост может иметь и отрицательный знак , показывающий ,
насколько уровень изучаемого периода ниже базисного .

(формула 3):

(3)

Ускорение – разность между абсолютным приростом за данный период и
абсолютным приростом за предыдущий период равной длительности (формула
4):

(4)

Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте ,
но не в базисном . Отрицательная величина ускорения говорит о
замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда .

Темп роста – распространенный статистический показатель динамики . Он
характеризует отношение двух уровней ряда и может выражаться в виде
коэффициента или в процентах .

, по формуле 5 :

(5)

(формула 6):

(6)

Если темп роста больше единицы (или 100%) , то это показывает на
увеличение изучаемого уровня по сравнению с базисным . Темп роста
,равный единице (или 100%) , показывает , что уровень изучаемого периода
по сравнению с базисным не изменился . Темп роста меньше единицы (или
100%) показывает на уменьшение уровня изучаемого периода по сравнению с
базисным. Темп роста всегда имеет положительный знак .

Между базисными и цепными темпами роста имеется взаимосвязь :
произведение последовательных цепных темпов роста равно базисному темпу
роста , а частное от деления последующего базисного темпа роста на
предыдущий равно соответствующему цепному темпу роста .

Темпы прироста характеризуют абсолютный прирост в относительных
величинах . Исчисленный в процентах темп прироста показывает , на
сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню ,
принятому за базу сравнения .

(формула 7):

(7)

(формула 8):

(8)

Между показателями темпа роста и темпа прироста существует взаимосвязь ,
выраженная формулами 9 и 10:

(%) — 100 (9)

(при выражении темпа роста в процентах).

— 1 (10)

(при выражении темпа роста в коэффициентах).

Формулы (7) и (8) используют для нахождения темпов прироста по темпам
роста .

Важным статистическим показателем динамики социально – экономических
процессов является темп наращивания , который в условиях интенсификации
экономики измеряет наращивание во времени экономического потенциала .

по формуле 11:

(11)

2.2 Средние показатели в рядах динамики

Для получения обобщающих показателей динамики социально — экономических
явлений определяются средние величины : средний уровень , средний
абсолютный прирост , средний темп роста и прироста и пр.

Средний уровень ряда динамики характеризует типическую величину
абсолютных уровней .

на их число n (формула 12):

(12)

В моментном ряду динамики с равноотстоящими датами времени средний
уровень определяется по формуле 13:

(13)

В моментном ряду динамики с неравноотстоящими датами средний уровень
определяется по формуле 14:

, (14)

делится на их число n (формула 15):

(15)

уровнями изучаемого периода , которая делится на m – 1 субпериодов
(формула 16):

(16)

Основываясь на взаимосвязи между цепными и базисными абсолютными
приростами , показатель среднего абсолютного прироста можно определить
по формуле 17:

(17)

применяется формула 18:

(18)

где Тр1 , Тр2 , … , Трn — индивидуальные (цепные) темпы роста (в
коэффициентах), n — число индивидуальных темпов роста.

Средний темп роста можно определить и по абсолютным уровням ряда
динамики по формуле 19:

(19)

На основе взаимосвязи между цепными и базисными темпами роста средний
темп роста можно определить по формуле 20:

(20)

Средний темп прироста можно определить на основе взаимосвязи между
темпами роста и прироста . При наличии данных о средних темпах роста для
получения средних темпов прироста используется зависимость , выраженная
формулой 21:

(21)

(при выражении среднего темпа роста в коэффициентах)

Проверка ряда на наличие тренда. Непосредственное выделение тренда

Изучение тренда включает в себя два основных этапа :

Ряд динамики проверяется на наличие тренда

Производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение
тренда с экстраполяцией полученных показателей – результатов .

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена по
нескольким критериям .

) . Выдвигается гипотеза о существенном различии средних . Если эта
гипотеза принимается , то признается наличие тренда .

Фазочастотный критерий знаков первой разности (критерий Валлиса и Мура)
. Суть его заключается в следующем : наличие тренда в динамическом ряду
утверждается в том случае , если этот ряд не содержит либо содержит в
приемлемом количестве фазы – изменение знака разности первого порядка
(абсолютного цепного прироста).

Критерий Кокса и Стюарта . Весь анализируемый ряд динамики разбивают на
три равные по числу уровней группы (в том случае , когда число уровней
ряда не делится на три , недостающие уровни надо добавить) и сравнивают
между собой уровни первой и последней групп .

Метод серий . По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда
считается принадлежащим к одному из двух типов : например , если уровень
ряда меньше медианного значения , то считается , что он имеет тип А , в
противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает
как последовательность типов . В образовавшейся последовательности типов
определяется число серий (серия – любая последовательность элементов
одинакового типа , с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению отсутствует ,
то количество серий является случайной величиной , распределенной
приближенно по нормальному закону (для n > 10) . Следовательно , если
закономерности в изменениях уровней нет , то случайная величина R
оказывается в доверительном интервале

Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной
вероятности Р.

Среднее число серий вычисляется по формуле 22 :

. (22)

Среднее квадратическое отклонение числа серий вычисляется по формуле 23
:

. (23)

здесь n — число уровней ряда .

Выражение для доверительного интервала приобретает вид

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел ,
уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю .

Непосредственное выделение тренда может быть произведено тремя методами
.

Укрупнение интервалов . Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно
большое число равных интервалов . Если средние уровни по интервалам не
позволяют увидеть тенденцию развития явления , переходят к расчету
уровней за большие промежутки времени , увеличивая длину каждого
интервала (одновременно уменьшается количество интервалов) .

Скользящая средняя . В этом методе исходные уровни ряда заменяются
средними величинами , которые получают из данного уровня и нескольких
симметрично его окружающих . Целое число уровней , по которым
рассчитывается среднее значение , называют интервалом сглаживания .
Интервал может быть нечетным (3,5,7 и т.д. точек) или четным (2,4,6 и
т.д. точек).

При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение
закрепляют за серединой расчетного интервала , при четном это делать
нельзя . Поэтому при обработке ряда четными интервалами их искусственно
делают нечетными , для чего образуют ближайший больший нечетный интервал
, но из крайних его уровней берут только 50%.

Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в
условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце
ряда . Получают их специальными приемами – расчетом средней
арифметической взвешенной . Так , при сглаживании по трем точкам
выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле 24 :

. (24)

Для последней точки расчет симметричен .

При сглаживании по пяти точкам имеем такие уравнения (формулы 25):

(25)

Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью
симметричен сглаживанию в двух начальных точках .

Формулы расчета по скользящей средней выглядят , в частности , следующим
образом (формула 26):

. (26)

Аналитическое выравнивание . Под этим понимают определение основной
проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления .
Развитие предстает перед исследователем как бы в зависимости только от
течения времени . В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее
общий , суммарный , проявляющийся во времени результат действия всех
причинных факторов . Отклонение конкретных уровней ряда от уровней ,
соответствующих общей тенденции , объясняют действием факторов ,
проявляющихся случайно или циклически . В результате приходят к
трендовой модели , выраженной формулой 27:

, (27)

где f(t) – уровень , определяемый тенденцией развития ;

— случайное и циклическое отклонение от тенденции.

Целью аналитического выравнивания динамического ряда является
определение аналитической или графической зависимости f(t) . На практике
по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции
f(t) , а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию
f(t) выбирают таким образом , чтобы она давала содержательное объяснение
изучаемого процесса .

Чаще всего при выравнивании используются следующий зависимости :

;

Линейная зависимость выбирается в тех случаях , когда в исходном
временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные и
цепные приросты , не проявляющие тенденции ни к увеличению , ни к
снижению.

Параболическая зависимость используется , если абсолютные цепные
приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития , но
абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго
порядка) никакой тенденции развития не проявляют .

Экспоненциальные зависимости применяются , если в исходном временном
ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост
(устойчивость цепных темпов роста , темпов прироста , коэффициентов
роста) , либо , при отсутствии такого постоянства , — устойчивость в
изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных
же темпов роста , цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или
темпов роста и т.д.).

) осуществляется следующими методами :

Методом избранных точек,

Методом наименьших расстояний,

Методом наименьших квадратов (МНК)

В большинстве расчетов используется метод наименьших квадратов , который
обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней
от выравненных :

можно представить как постоянный теоретический абсолютный прирост .

) , вычисленный по формуле 28, сравнивается с теоретическим (табличным)
значением :

, (28)

где k — число параметров функции , описывающей тенденцию;

n — число уровней ряда ;

Остальные необходимые показатели вычисляются по формулам 29 – 31 :

(29)

(30)

(31)

, то уравнение регрессии значимо , то есть построенная модель адекватна
фактической временной тенденции.

Анализ сезонных колебаний

Уровень сезонности оценивается с помощью :

индексов сезонности ;

гармонического анализа.

Индексы сезонности показывают , во сколько раз фактический уровень ряда
в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня ,
вычисляемого по уравнению тенденции f(t) . При анализе сезонности уровни
временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам)
одного или нескольких лет . Для каждого месяца (квартала) получают
обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных
индексов каждого года . Индексы сезонности – это , по либо уровень
существу , относительные величины координации , когда за базу сравнения
принят либо средний уровень ряда , либо уровень тенденции . Способы
определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия
основной тенденции .

Если тренда нет или он незначителен , то для каждого месяца (квартала)
индекс рассчитывается по формуле 32:

(32)

— уровень показателя за месяц (квартал) t ;

— общий уровень показателя .

Как отмечалось выше , для обеспечения устойчивости показателей можно
взять больший промежуток времени . В этом случае расчет производится по
формулам 33 :

(33)

— средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет ;

Т — число лет .

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов ,
исключающих влияние тенденции . Порядок расчета следующий :

для каждого уровня определяют выравненные значения по тренду f(t);

;

при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных
месяцев (кварталов) по формуле 34 :

,(Т — число лет). (34)

Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ
. Его выполняют , представляя временной ряд как совокупность
гармонических колебательных процессов .

Для каждой точки этого ряда справедливо выражение , записанное в виде
формулы 35 :

(35)

при t = 1, 2, 3, … , Т.

— фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t;

f(t) – выравненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t

— параметры колебательного процесса (гармоники) с номером n , в
совокупности оценивающие размах (амплитуду) отклонения от общей
тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки .

Общее число колебательных процессов , которые можно выделить из ряда ,
состоящего из Т уровней , равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим
числом наиболее важных гармоник . Параметры гармоники с номером n
определяются по формулам 36 –38 :

;
(36)

(37)

при n=1,2,…,(T/2 – 1);

(38)

Анализ взаимосвязанных рядов динамики .

В простейших случаях для характеристики взаимосвязи двух или более рядов
их приводят к общему основанию , для чего берут в качестве базисных
уровни за один и тот же период и исчисляют коэффициенты опережения по
темпам роста или прироста .

Коэффициенты опережения по темпам роста – это отношение темпов роста
(цепных или базисных) одного ряда к соответствующим по времени темпам
роста (также цепным или базисным) другого ряда . Аналогично находятся и
коэффициенты опережения по темпам прироста .

Анализ взаимосвязанных рядов представляет наибольшую сложность при
изучении временных последовательностей . Однако нередко совпадение общих
тенденций развития может быть вызвано не взаимной связью , а прочими
неучитываемыми факторами . Поэтому в сопоставляемых рядах предварительно
следует избавиться от влияния существующих в них тенденций , а после
этого провести анализ взаимосвязи по отклонениям от тренда .
Исследование включает проверку рядов динамики (отклонений) на
автокорреляцию и установление связи между признаками .

Под автокорреляцией понимается зависимость последующих уровней ряда от
предыдущих . Проверка на наличие автокорреляции осуществляется по
критерию Дарбина – Уотсона (формула 39) :

, (39)

— отклонение фактического уровня ряда в точке t от теоретического
(выравненного) значения .

При К = 0 имеется полная положительная автокорреляция , при К = 2
автокорреляция отсутствует , при К = 4 – полная отрицательная
автокорреляция . Прежде чем оценивать взаимосвязь , автокорреляцию
необходимо исключить . Это можно сделать тремя способами .

Исключение тренда с авторегрессией. Для каждого из взаимосвязанных рядов
динамики Х и У получают уравнение тренда (формулы 40) :

(40)

Далее выполняют переход к новым рядам динамики , построенным из
отклонений от трендов , рассчитанным по формулам 41 :

(41)

выполняется проверка на автокорреляцию по критерию Дарбина – Уотсона .
Если значение К близко к 2 , то данный ряд отклонений оставляют без
изменений . Если же К заметно отличается от 2 , то по такому ряду
находят параметры уравнения авторегрессии по формулам 42 :

(42)

) и соответствующие этим параметрам величины шагов .

Далее по формуле 43 подсчитываются новые остатки :

(t = 1, … , Т) (43)

и , по формуле 44, коэффициент корреляции признаков :

. (44)

Корреляция первых разностей . От исходных рядов динамики Х и У переходят
к новым , построенным по первым разностям (формулы 45) :

(45)

По (Х и (У определяют по формуле 46 направление и силу связи в
регрессии:

(46)

В простейших случаях уравнение выглядит следующим образом (формула 47):

(47)