Напівпрості і прості кільця (курсова робота)

Курсова робота

на тему:

Напівпрості і прості кільця

Зміст:

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .3

Поняття кільця. Приклади кілець . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Умови, які визначають напівпростоту . . . . . . . . . . . . . . . .6

Теорема щільності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 9

Напівпрості кільця. Структура напівпростих кілець . . . 13

Прості кільця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 24

Поняття про модуль. Збалансовані модулі. . . . . . . . . . . .29

Список використаної літератури . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.Вступ.

Математика в самому загальному смислі слова має справу з визначенням і
використанням символічних моделей. Математична модель охоплює клас
невизначених(абстрактних, символічних) математичних об’єктів і
відношення між цими об’єктами .

Математична модель буде відтворювати відповідним чином вибрані сторони
фізичної ситуації, якщо можна встановити правила відповідності, що
зв’язують специфічні фізичні об’єкти і відношення з визначеними
математичними об’єктами і відношеннями.

Визначальні властивості математичних моделей представляють собою більше
чи менше безпосередні абстракції фізичних процесів.

Напівпрості і прості кільця являються алгеброю моделей з двома
визначальними операціями. В даній курсовій роботі розглянемо, що собою
являють напівпрості і прості кільця.

Непорожня множина K, на якій визначено операції додавання і множення,
називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

множина K є адитивною абелевою групою;

множина K є мультиплікативною півгрупою;

операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

0 і R напівпростий як лівий модуль над собою.

Кільце R називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Поняття кільця. Приклади кілець.

Означення2.1: непорожня множина K, на якій визначено операції додавання
і множення, називається кільцем, якщо виконуються такі умови:

множина K є адитивною абелевою групою;

множина K є мультиплікативною півгрупою;

операція множення дистрибутивна відносно додавання, тобто

K (a+b)c=ac+bc ,c(a+b)=ca+cb.

Позначається кільце так (K, +, *).

Група є адитивною відносно операції додавання. Відносно операції
множення група є мультиплікативною.

Означення2.2: кільце, в якому для будь-якого ненульового елемента a
існує обернений називається тілом.

Означення2.3: тіло, в якому операція множення комутативна, називається
полем.

Означення2.4: якщо операція множення, визначена в групі, є комутативною,
то група називається комутативною або абелевою.

Приклади кілець:

Множина Z цілих чисел.

Множина Q раціональних чисел.

Множина R дійсних чисел.

Множина C комплексних чисел.

Нульове кільце, яке містить лише елемент 0.

Множина парних чисел і взагалі множина цілих чисел, які кратні деякому
числу m.

Множина цілих комплексних чисел, тобто чисел a+bi, де a та b цілі
числа.

Z, а k- натуральне число, яке не є повним квадратом. Множина
натуральних чисел, а також множина додатніх раціональних чисел кільцями
не є, так як для елементів цих множин нема протилежних, в цих множинах
немає також нульового елемента.

Всі многочлени з одним чи кількома змінними та коефіцієнтами з деякого
кільця R. При цьому за операції додавання та множення приймаються
звичайні дії над многочленами, які зводяться до додавання та множення
коефіцієнтів многочленів.

Пари (a,b) цілих чисел утворюють кільце, якщо операції визначені за
формулами

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)

(a,b)(c,d)=(ac,bd)

3.Умови, які визначають напівпростоту

–гомоморфізмами.

еквівалентні:

–сума деякої сім’ї простих підмодулів.

–пряма сума деякої сім’ї простих підмодулів.

Доведемо це.

Лема:

Доведення:

належить сумі, і лема доведена.

Можна записати

Тоді

може бути однозначно записаний у вигляді суми

простий.

Отже, лему доведено.

, то

. Це доводить, що ПП3 спричиняє ПП1.

, який задовольняє нашим трьом умовам, називається напівпрстим.

Твердження:

Всякий підмодуль і всякий фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.

Доведення:

. Запишемо

має єдине представлення

Але,

є пряма сума

, який тим самим напівпростий. Що стосується фактор-модуля, то запишемо

напівпростий.

4.Теорема щільності

Теорема щільності:

. Тоді E буде також K- модулем, причому дія K на E задається
відображенням

. Але якраз це і означає умова

Виникає питання, на скільки великий образ цього гомоморфізму. Теорема
щільності стверджує, що він вельми великий.

Лема:

Доведення:

Так як E напівпростий, то має місце розклад в R–пряму суму

і, як наслідок,

Теорема щільності узагальнює цю лему на випадок скінченого числа
елементів з E замість одного. Для доведення використаємо діагональний
метод.

Теорема 4.1: (Джекобсон)

Доведення:

Що і треба було довести.

Наслідок 4.1:

Доведення:

алгебраїчно замкнуте. Це доводить, що

, такий, що

Наслідок 4.1 відомий як теорема Бернснайда. Він використовується у
наступній ситуації.

(мультиплікативний).

складається з лінійних комбінацій

у тому розумінні, який ми розглядали вище. Тому можна переформулювати
теорему Бернсайда наступним чином.

Наслідок 4.2:

–точний модуль, якщо задовольняється наступна умова:

–модулем, точність якого має місце тоді і тільки тоді, коли цей
гомоморфізм ін’єктивний.

Наслідок4. 3: (Теорема Веддерберна)

Доведення:

спричиняє, що це відображення ін’єктивне.

Наслідок доведено.

5.Напівпрості кільця

напівпростий як лівий модуль над собою.

Твердження:

–модуль напівпростий.

Доведення:

із собою деяке число раз. Далі можна застосувати таке твердження, що
довільний підмодуль і довільний фактор-модуль напівпростого модуля
напівпрості.

називаються ізоморфними, якщо вони ізоморфні як модулі.

така сім’я простих лівих ідеалів, що ніякі два ідеали у ній не
ізоморфні і довільний простий лівий ідеал ізоморфний одному з ідеалів
цієї сім’ї. Ця сім’я є сім’єю представників для класів простих лівих
ідеалів відносно ізоморфізму.

Лема:

, то

Доведення:

Маємо

. Припустимо, що

такий, що

, то

простий, то цей гомоморфізм повинен бути ізоморфізмом.

. З леми випливає, що

представляється у вигляді суми

у вигляді суми

, так що

. Запишемо

маємо

а також

Крім того

однозначно визначена як

, яке згідно цього є кільцем. Так як

, то бачимо, що в дійсності

Означення5.1:

називається простим, якщо воно напівпросте і має лише один клас
простих лівих ідеалів відносно ізоморфізму.

Отже, структурна теорема для напівпростих кілець таким чином доведена.

Теорема5.1:

–напівпросте кільце. Існує лише скінченне число не ізоморфних простих
лівих ідеалів, наприклад

–його одиничний елемент, то

Теорема 5.2:

. Тоді,

Доведення:

, то

і відповідно,

. А також

Наслідок 1:

Наслідок 2:

Просте кільце має з точністю до ізоморфізму тільки один простий модуль.

Обидва ці наслідки безпосередньо випливають з теорем 1 і 2.

Структура напівпростих кілець.

– кільце ? напівпростим, якщо

– ідеалів

. Наступна теорема має фундаментальне значення при визначенні стуктури
напівпростих кілець.

Теорема5.3:

– кільцем, яке володіє наступними властивостями:

? володіє одиницею

– ідеалів цілком звідна і у ній виконано умову обриву спадних
ланцюгів, то кільце ? напівпросте.

Доведення:

є доповненням ідеалу J.

. Отже, ми показали повну звідність структури.

”$c¦2

&?8

„7`„7a$ 8

??&?

jAE…

j|f

j?)

j(o

jbU

j??

j^@

jµ%

jgO

j3/4·

jy™

j6.Прості кільця Лема: , такий, що . Доведення: Маємо . Покладемо . Теорема 6.1: , такий, що . При цьому . Доведення: . Можемо представити 1 у вигляді кінцевої суми , . Тоді . Це доводить наше перше твердження. Що стосується другого твердження, то воно є наслідком третього. . –ізоморфізм (який існує за означенням простого кільця). Тоді відображення , такий, що . Знайдемо . Відображення і, відповідно, ізоморфізмом. Звідси випливає, що і теорема 6.1 доведена. Наслідок1: –модуль. Тоді точний. Доведення: Маємо . Припустимо, що . Тоді . є точним. Теорема 6.2(Риффель): є ізоморфізмом. Доведення: маємо , , так що . Отже, теорема доведена. можна представити як кільце ендоморфізмів деякого скінченновимірного модуля над тілом. Зворотньо: Теорема 6.3: . Доведення: , такий, що . . Відображення , такий, що , просте. Залишається довести, що . тепер помінялися ролями!). , такий, що . , такий, що . Тоді . Таким чином, . . Отже, теорема доведена. Теорема 6.4: -простір і . у пряму суму таких ідеалів. Доведення: . Розклад модуля в пряму суму простих модулів є однозначним, що і доводить наше твердження. виглядають, наприклад, так: . стовпців. –скалярна матриця. . 7.Поняття про модуль , причому виконуються наступні умови: , , , . Якщо відображення називається кільцем скалярів, а його елементи – скалярами. Теорема 7.1: –адитивна абелева група. Твердження7.1.1 : –модуль, то відображення , таке, що , такий, що . Символ позначає цей же модуль. Твердження7.1.2 : –кільцевий антигомоморфізм, позначає той же самий модуль. Доведення: Якщо задано відображення –модуль. Кожен антигомоморфізм комутативного кільця є гомоморфізмом, так що для цих кілець поняття лівого і правого модулів співпадають. Збалансовані модулі. –модуль. Покладемо . скінченно породжене одним елементом 1). Теорема 7.2: (Моріта) . Доведення: (Фейт) – відображення, при якому . . Звідси маємо, що , – вільний модуль, то , такий, що . Звідси випливає, що , , очевидно, ін’єктивне. , розглянемо ізоморфізми адитивних груп . , а це й доводить теорему. Приклад: . Таким чином теорема є наслідком теореми. 8. Список використаної літератури: “Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968 “Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971 “Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973 “Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977 “Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986 “Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter