Реферат на тему:
Системи лінійних рівнянь
Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді
АХ = В, (3.32)
де
Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n ( 1;
вектор-стовпець В — порядок n ( 1.
, то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду
(3.33)
Приклад 3.5. Знайти розв’язок системи
У матричному виді:
AX = B;
отже,
.
= –2 – 15 = –17 — матриця невироджена.
.
.
Отже,
= 3.
Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:
АХ = 0 (3.34)
Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру
n ( 1.
. Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник
матриці А дорівнює нулю:
Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати,
вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність
(3.35)
Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.
(3.36)
, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки.
Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:
:
(3.37)
:
(3.38)
Характеристичні (власні) корені
і власні вектори матриць
Розглянемо систему рівнянь
(3.39)
— скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n ( 1.
Систему (3.39) запишемо у вигляді
або
(3.40)
Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок,
коли
(3.41)
називають характеристичним рівнянням матриці А.
Корені цього рівняння ( є характеристичними коренями (характеристичними
числами, власними значеннями) матриці А.
характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь
(3.40). Дістанемо рівняння
(3.42)
.
.
Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо,
що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні
характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).
Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не
завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто
такі що:
.
), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці,
то добуток
(3.43)
перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні
корені ( на головній діагоналі.
Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.
або
(3.44)
для системи (3.44):
(3.45)
Отже,
. (3.46)
і характеристичні корені цієї матриці
. (3.47)
в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А.
і власні вектори X1, X2 матриці А:
.
застосуємо (3.47):
систему рівнянь (3.44).
тоді
(3.48)
, зводячи його довжину до 1, тобто:
(3.49)
Підставимо (3.48) в (3.49):
Власний вектор
(3.50)
.
Система (3.44) запишеться у вигляді
(3.51)
, звівши його довжину до 1, тобто:
(3.52)
Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо:
Власний вектор
(3.53)
, то власні вектори X1 і X2 ортогональні, тобто лінійно незалежні:
Перевіримо, чи виконується (3.43):
. Це підтверджує правильність наведених обчислень.
Квадратичні форми
Означення квадратичної форми
називається сума, кожний доданок якої є квадратом одного з цих
невідомих або добутком двох різних невідомих:
(3.54)
:
, A — симетрична матриця.
Розглянемо, наприклад, два випадки.
. Тоді квадратична форма
2. Матриця А діагональна, тобто
У такому разі
— вагова сума квадратів.
.
для всіх Х.
Запам’ятайте важливу властивість додатно визначених матриць.
додатні, а саме:
(3.55)
Рівняння (3.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату,
який корисний при вивченні узагальненого методу найменших квадратів.
додатні, можемо задати діагональну матрицю D такого виду:
(3.56)
Неважко побачити, що добуток (3.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає
одиничну матрицю:
(3.57)
Нехай Z = XD, тоді
(3.58)
Оскільки матриці Х і D — невироджені, то Z — також невироджена.
Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:
(3.59)
.
Випадкові квадратичні форми
Нехай d — випадковий вектор, А — детермінована симетрична матриця.
і математичне сподівання M (d) = 0.
, дістанемо:
(3.60)
де tr (A) — слід матриці А.
Наведемо властивості випадкової квадратичної форми.
) і rgA = trA = k .
— незалежні.
— симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень
4. Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або
одиниці, а саме:
.
) — квадратна симетрична невироджена матриця.
;
,
— невироджена.
.
Визначимо нову матрицю А так:
.
. Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.
= 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4.
Диференціювання функції багатьох змінних
(градієнт функціі f (x) )
^
i
gdUYO
?????Т??i
BRai
?
$
gdUYO
$
$
„T`„Ta$gdUYO
gdUYO
gdUYO
$
gdUYO
$
$
AE
$
a$gdUYO
gdUYO
???????????O
@O@AiaUaUaUUUA°aUaaa¤aU
gdUYO
$
$
$
$a$gdUYO
$
gdUYO
„T`„Ta$gdUYO
$
gdUYO
„T`„Ta$gdUYO
.
) називається вектор, який складається з частинних похідних функції
f (x) за x1, x2 … xn:
(3.61)
.
Тоді
.
Отже, градієнт функції
. (3.62)
, градієнт можна визначити як
. (3.63)
— n-вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як
квадратичну форму (див.підрозділ. 3.9).
як скалярний добуток:
(3.64)
.
Знайдемо компоненти вектора-градієнта.
Перший компонент
.
другий компонент:
n-й компонент:
має вигляд
(3.65)
Отже, скорочено
(3.66)
висновки
1. Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з m рядків і n
стовпців:
2. Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розміпр m ( n.
, то матриця — прямокутна; якщо m = n — матриця квадратна порядку n
(або m ).
4. Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно:
матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають
векторами, а саме:
5. Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою:
6. Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної
діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною:
7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а
саме
то така матриця називається одиничною n-го порядку.
поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або
навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю
.
.
11. Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр (:
При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони:
і-го рядка на відповідні елементи j-го стовпця:
13. При множенні матриць справджуються такі закони:
;
б) (АВ)С = А(ВС);
в) (А + В)С = АС + ВС;
г) С(А + В) = СА + СВ;
е) АE = EA = A;
дає скаляр
, то
і
, називається ідемпотентною.
16. Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом
називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців
(рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора
матриці А, який відрізняється від нуля:
m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.
17. Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу
виконуються такі співвідношення:
;
A = rgA;
min(rgA, rgB).
= n .
18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід
матриці і її визначник (детермінант).
Слідом матриці розмірности (n ( n) є сума елементів, що містяться на її
головній діагоналі, тобто
Для сліду виконуються такі співвідношення:
(А і В — матриці однакового порядку);
в) tr(AB) = tr(BA);
(коли А — симетрична);
19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n-го порядку
називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n
співмножників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка
(стовпця) визначника. Позначається:
.
.
, де і — номер рядка,
, називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме:
22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого
стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:
, називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину
обернену матрицю, для якої виконується:
Обернена матриця знаходиться з виразу
де J — приєднaна матриця.
24. Основні властивості оберненої матриці:
;
;
;
;
;
.
, називається ортогональною.
26. Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються
блоковими:
Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил:
— повинні мати однакову кількість рядків;
— повинні мати однакову кількість стовпців.
27. При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед
виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.
При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має
дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями
операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними
матрицями.
.
.
29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса:
, (3.27)
30. Детермінант блокової матриці А
31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe
Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як
.
Останнє рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А.
є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними
значеннями) матриці А.
, називаються власними векторами матриці А. Добуток
де Х — матриця власних векторів А;
— характеристичні корені матриці А.
записується у вигляді:
У векторно-матричному запису квадратичну форму можна подати так:
,
, А — симетрична матриця.
— називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової
квадратичної форми
— симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень:
є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1.
38. Градієнтом функції f (x), коли x = (x1, x2 … xn) є вектор
.
, то градієнт її
.
.
ЛІТЕРАТУРА
Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.
Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.
Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.
Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.
Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.
Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.
Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.
Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.
Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.
Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.
Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.
Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.
Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.
Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.
Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
