UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваСистеми лінійних рівнянь (реферат)
АвторPetya
РозділЕкономічні теми (різне), реферат, курсова
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось3380
Скачало300
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Системи лінійних рівнянь

 

Запишемо систему рівнянь у матричному вигляді

 

АХ = В, (3.32)

 

де

 

 

Матриця А є квадратною порядку n; вектор-стовпець Х має розмір n ( 1;

вектор-стовпець В — порядок n ( 1.

 

, то система лінійних рівнянь (3.32) має єдиний розв’язок виду

 

(3.33)

 

Приклад 3.5. Знайти розв’язок системи

 

 

У матричному виді:

 

AX = B;

 

 

отже,

 

.

 

= –2 – 15 = –17 — матриця невироджена.

 

.

 

.

 

Отже,

 

 

= 3.

 

Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:

 

АХ = 0 (3.34)

 

Нехай А — квадратна матриця n-го порядку; Х — вектор-стовпець розміру

n ( 1.

 

. Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник

матриці А дорівнює нулю:

 

 

Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати,

вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність

 

(3.35)

 

Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.

 

(3.36)

 

 

, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки.

 

Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:

 

 

:

 

(3.37)

 

:

 

(3.38)

 

Характеристичні (власні) корені

 

і власні вектори матриць

 

Розглянемо систему рівнянь

 

(3.39)

 

— скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n ( 1.

 

Систему (3.39) запишемо у вигляді

 

 

або

 

(3.40)

 

Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок,

коли

 

(3.41)

 

називають характеристичним рівнянням матриці А.

 

Корені цього рівняння ( є характеристичними коренями (характеристичними

числами, власними значеннями) матриці А.

 

характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь

(3.40). Дістанемо рівняння

 

(3.42)

 

.

 

.

 

Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо,

що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні

характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).

 

Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не

завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто

такі що:

 

.

 

), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці,

то добуток

 

(3.43)

 

перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні

корені ( на головній діагоналі.

 

Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.

 

або

 

 

(3.44)

 

для системи (3.44):

 

 

(3.45)

 

Отже,

 

. (3.46)

 

і характеристичні корені цієї матриці

 

. (3.47)

 

в систему (3.44), знайдемо власні вектори X1, X2 матриці А.

 

і власні вектори X1, X2 матриці А:

 

.

 

застосуємо (3.47):

 

 

 

систему рівнянь (3.44).

 

тоді

 

(3.48)

 

, зводячи його довжину до 1, тобто:

 

(3.49)

 

Підставимо (3.48) в (3.49):

 

 

 

Власний вектор

 

(3.50)

 

.

 

Система (3.44) запишеться у вигляді

 

(3.51)

 

, звівши його довжину до 1, тобто:

 

(3.52)

 

Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо:

 

 

Власний вектор

 

(3.53)

 

, то власні вектори X1 і X2 ортогональні, тобто лінійно незалежні:

 

 

Перевіримо, чи виконується (3.43):

 

 

. Це підтверджує правильність наведених обчислень.

 

Квадратичні форми

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ