Реферат на тему:
Мультиколінеарність
Поняття мультиколінеaрності
і повинна мати ранг m, тобто серед пояснювальних змінних моделі не
повинно бути лінійно залежних. Проте оскільки економічні показники, які
входять до економетричної моделі як пояснювальні змінні, на практиці
дуже часто пов’язані між собою, то це може стати перешкодою для
оцінювання параметрів моделі 1МНК та істотно вплинути на якість
економетричного моделювання.
Тому в економетричних дослідженнях вельми важливо з’ясувати, чи існують
між пояснювальними змінними взаємозв’язки, які називають
мультиколінеарністю.
Означення 6.1. Мультиколінеарність означає існування тісної лінійної
залежності, або кореляції, між двома чи більше пояснювальними змінними.
Вона негативно впливає на кількісні характеристики економетричної моделі
або робить її побудову взагалі неможливою.
буде виродженою.
Нехай зв’язок між пояснювальними змінними не функціональний, проте
статистично істотний. Тоді попри те, що оцінити параметри методом
найменших квадратів теоретично можливо, знайдена оцінка може призвести
до таких помилкових значень параметрів, що сама модель стане
беззмістовною.
Основні наслідки мультиколінеарності.
1. Падає точність оцінювання, яка виявляється так:
а) помилки деяких конкретних оцінок стають занадто великими;
б) ці помилки досить корельовані одна з одною;
в) дисперсії оцінок параметрів різко збільшуються.
2. Оцінки параметрів деяких змінних моделі можуть бути незначущими через
наявність їх взаємозв’язку з іншими змінними, а не тому, що вони не
впливають на залежну змінну. У такому разі множина вибіркових даних не
дає змоги цей вплив виявити.
3. Оцінки параметрів стають досить чутливими до обсягів сукупності
спостережень. Збільшення сукупності спостережень іноді може спричинитися
до істотних змін в оцінках параметрів.
З огляду на перелічені наслідки мультиколінеарності при побудові
економетричної моделі потрібно мати інформацію про те, що між
пояснювальними змінними не існує мультиколінеарністі.
Ознаки мультиколінеарності
1. Коли серед парних коефіцієнтів кореляції пояснювальних змінних є
такі, рівень яких наближається або дорівнює множинному коефіцієнту
кореляції, то це означає можливість існування мультиколінеарності.
Інформацію про парну залежність може дати симетрична матриця
коефіцієнтів парної кореляції або кореляції нульового порядку між
пояснювальними змінними:
. (6.1)
Проте коли до моделі входять більш як дві пояснювальні змінні, то
вивчення питання про мультиколінеарність не може обмежуватись
інформацією, що її дає ця матриця. Явище мультиколінеарності в жодному
разі не зводиться лише до існування парної кореляції між незалежними
змінними.
.
впливає дисперсія пояснювальних змінних, цей показник можна вважати
точковою мірою рівня мультиколінеарності.
і при цьому F-критерій істотно відрізняється від нуля, то це також
свідчить про наявність мультиколінеарності.
, який обчислено для регресійних залежностей між однією пояснювальною
змінною та іншими, має значення, яке близьке до одиниці, то можна
говорити про наявність мультиколінеарності.
5. Нехай при побудові економетричної моделі на основі покрокової
регресії введення нової пояснювальної змінної істотно змінює оцінку
параметрів моделі при незначному підвищенні (або зниженні) коефіцієнтів
кореляції чи детермінації. тоді ця змінна перебуває, очевидно, у
лінійній залежності від інших, які було введено до моделі раніше.
Усі ці ознаки мультиколінеарності мають один спільний недолік: ні одна з
них чітко не розмежовує випадки, коли мультиколінеарність істотна і коли
нею можна знехтувати.
Алгоритм Фаррара – Глобера
– «хі» — квадрат); кожної незалежної змінної з рештою змінних
(F-критерій); кожної пари незалежних змінних (t-критерій).
Усі ці критерії при порівнянні з їх критичними значеннями дають змогу
робити конкретні висновки щодо наявності чи відсутності
мультиколінеарності незалежних змінних.
Опишемо алгоритм Фаррара — Глобера.
Крок 1. Стандартизація (нормалізація) змінних.
. Елементи стандартизованих векторів обчислио за формулою:
(6.2)
;
;
— середнє арифметичне k-ї пояснювальної змінної;
— дисперсія k-ї пояснювальної змінної.
Крок 2. Знаходження кореляційної матриці
(6.3)
.
(«хі»-квадрат):
(6.4)
— визначник кореляційної матриці r.
то в масиві пояснювальних змінних існує мультиколінеарність.
Крок 4. Визначення оберненої матриці:
(6.5)
Крок 5. Очислення F-критеріїв:
(6.6)
— діагональні елементи матриці C. Фактичні значення критеріїв
порівнюються з табличними при n – m і m – 1 ступенях свободи і рівні
значущості (. Якщо Fkфакт > Fтабл, то відповідна k-та незалежна змінна
мультиколінеарна з іншими.
Коефіцієнт детермінації для кожної змінної
(6.7)
Крок 6. Знаходження частинних коефіцієнтів кореляції:
(6.8)
— діагональні елементи матриці C.
Крок 7. Обчислення t-критеріїв:
(6.9)
існує мультиколінеарність.
Розглянемо застосування алгоритму Фаррара — Глобера для розв’язування
конкретної задачі.
Приклад 6.1. На середньомісячну заробітну плату впливає ряд чинників.
Вирізнимо серед них продуктивність праці, фондомісткість та коефіцієнт
плинності робочої сили. Щоб побудувати економетричну модель заробітної
плати від згаданих чинників згідно з методом найменших квадратів,
потрібно переконатися, що продуктивність праці, фондомісткість та
коефіцієнт плинності робочої сили як незалежні змінні моделі — не
мультиколеніарні.
Вихідні дані наведені в табл. 6.1.
Таблиця 6.1
Номер
цеху Продуктивність праці, людино-днів Фондомісткість,
млн грн. Коефіцієнт плинності
робочої сили, %
1 32 0,89 19,5
2 29 0,43 15,6
3 30 0,70 13,5
4 31 0,61 9,5
5 25 0,51 23,5
6 34 0,51 12,5
7 29 0,65 17,5
8 24 0,43 14,5
9 20 0,51 14,5
10 33 0,92 7,5
Дослідити наведені чинники на наявність мультиколеніарністі.
Розв’язання.
Крок 1. Нормалізація змінних.
. Елементи стандартизованих векторів обчислимо за формулою:
.
Із формули бачимо, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні
для кожної пояснювальної змінної:
згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 6.2.
Таблиця 6.2
3,3 0,004 -3,4 10,89 0,000016 11,56 0,2487 0,0091 -0,2518
0,3 -0,156 1,6 0,09 0,024336 2,56 0,0226 -0,3531 0,1185
1,6 0,114 -0,4 1,89 0,012995 0,16 0,0980 0,2580 -0,0296
2,3 0,024 -4,4 5,29 0,000576 19,36 0,1733 0,0543 -0,3258
-3,7 -0,676 9,6 13,89 0,005776 92,16 -0,2788 -0,1720 0,7108
5,3 -0,078 -1,4 28,09 0,005776 1,96 0,3994 -0,1720 -0,1037
0,3 0,064 -3,6 0,09 0,004096 12,96 0,0226 0,1448 0,2666
-4,7 -0,156 0,6 22,09 0,024336 0,35 -0,3541 -0,3531 0,0444
-8,7 -0,076 0,6 75,89 0,005778 0,35 -0,6556 -0,1720 0,0444
4,3 0,334 -6,4 14,49 0,111555 40,95 0,3240 0,7559 -0,4739
Всього
176,1 0,19524 182,4
Дисперсії кожної незалежної змінної мають такі значення:
Тоді знаменник для стандартизації кожної незалежної змінної буде такий:
Матриця стандартизованих змінних подається у вигляді:
.
Крок 2. Знаходження кореляційної матриці:
.
Ця матриця симетрична і має розмір 3 ( 3.
Для даної задачі
за рахунок зміщеності коефіцієнтів парної кореляції числові значення
діагональних елементів можуть наближатись до одиниці. Якщо це так, то
вони заміняються одиницями, а інші значення матриці r збільшуються на
величину, що визначається як різниця між одиницею і діагональним
елементом.
Інші елементи матриці r дорівнюють:
існує зв’язок. Але чи можна стверджувати, що цей зв’язок є виявленням
мультиколінеарності, а через це негативно впливатиме на оцінку
економетричної моделі?
Щоб відповісти на це запитання, потрібно ще раз звернутися до алгоритму
Фаррара — Глобера і знайти статистичні критерії оцінки
мультиколінеарності.
:
табл, доходимо висновку, що в масиві змінних не існує
мультиколінеарності.
Крок 4. Знайдемо матрицю, обернену до матриці r:
Крок 5. Використовуючи діагональні елементи матриці C, обчислимо
F-критерії:
= 2 критичне (табличне) значення критерію F = 4,74.
Оскільки
F1факт висновки 1. Якщо порушується одна з чотирьох умов, необхідних для застосування 1МНК, що стосується матриці вихідних даних Х, а саме коли між пояснювальними змінними існує лінійна залежність, то це явище називається мультиколінеарністю. 2. Мультиколінеарність негативно впливає на кількісні характеристики економетричної моделі або взагалі робить неможливою її побудову, коли матриця вироджена. 3. Найважливіші наслідки мультиколінеарності такі. 3.1. Падає точність оцінювання параметрів економетричної моделі. 3.2. Оцінки деяких параметрів моделі можуть бути незначущими через наявність мультиколінеарності пояснювальних змінних, взаємозв’язок між ними, а не тому, що вони не впливають на залежну змінну. 3.3. Оцінки параметрів моделі стають дуже чутливими до особливостей сукупності спостережень, насамперед до її розмірів. Збільшення сукупності спостережень іноді може призвести до істотних змін в оцінках параметрів. 4. Основні ознаки мультиколінеарності. 4.1. Наявність парних коефіцієнтів кореляції між пояснювальними змінними, які наближаються до одиниці і наближено дорівнюють множинному коефіцієнту кореляції. наближається до нуля. 4.3. Наявність малих значень оцінок параметрів моделі при високому рівні коефіцієнта детермінації R2 і F-критеріїв, які істотно відрізняються від нуля. 4.4. Наявність частинних коефіцієнтів детермінації між пояснювальними змінними, які наближаються до одиниці. 4.5. Істотна зміна оцінок параметрів моделі при додатковому введенні до останньої пояснювальної змінної, а також незначне підвищення (або зниження) коефіцієнтів кореляції чи детермінації. 5. Найповніше дослідити мультиколінеарність можна з допомогою алгоритму Феррара — Глобера. Цей алгоритм має три види статистичних критеріїв, за якими перевіряється мультиколінеарність усього масиву незалежних змінних ((2 — (хі(-квадрат); кожної незалежної змінної з усіма іншими (F-критерій); кожної пари незалежних змінних (t-критерій). 6. Алгоритм Феррара — Глобера складається із семи кроків. 6.1. Стандартизація (нормалізація) змінних 6.2. Знаходження кореляційної матриці . 6.3. Визначення критерію (2 ((хі(-квадрат) 6.4. Визначення оберненої матриці . 6.5. Обчислення F-критеріїв 6.6. Знаходження частинних коефіцієнтів кореляції 6.7. Обчислення t-критеріїв 7. Метод головних компонентів використовується для оцінювання параметрів моделей великого розміру, а також моделей, до яких входять мультиколінеарні змінні. Ідея методу полягає в тому, щоб перетворити множину змінних Х на нову множину попарно некорельованих змінних, серед яких перша відповідає максимально можливій дисперсії, друга — максимально можливій дисперсії в підпросторі, який є ортогональним до першого, і т.д. . за таких умов: , k = j; , k ( j. і дорівнює нулю лише тоді, коли ajak = 0. Для розв’язування цієї задачі будується функція Лагранжа: . )aj. 10. Головні компоненти Zj = Xaj попарно некорельовані, а їх дисперсії визначаються так: характеризують пропорційний внесок кожного з векторів до загальної варіації змінних Х, а оскільки ці компоненти ортогональні, сума всіх внесків дорівнює одиниці. 11. Алгоритм головних компонентів складається з восьми кроків. 11.1 Нормалізація всіх пояснювальних змінних: 11.2. Обчислення кореляційної матриці 11.3. Знаходження характеристичних чисел матриці r з рівняння: де (j — характеристичні числа; E — одинична матриця. 11.4. Власні (характеристичні) числа (j упорядковуються за абсолютними значеннями. 11.5. Знаходження власних векторів aj розв’язуванням системи рівнянь: (r – (E)a = 0. 11.6. Обчислення головних компонентів векторів Zj: Головні компоненти мають задовольняти умови: ; 11.7. Визначення параметрів моделі з головними компонентами 11.8. Знаходження параметрів вихідної моделі: ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964. PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
