Гетероскедастичність (реферат)

Реферат на тему:

Гетероскедастичність

Поняття гетероскедастичності

Припущення, які були зроблені при оцінюванні параметрів моделі 1МНК
[див. (4.2) — (4.5)], на практиці можуть порушуватися.

У розд. 6 було розглянуто проблеми мультиколінеарності, які пов’язані з
порушенням умови (4.5).

Тепер розглянемо особливості економетричного моделювання, коли
порушується умова (4.3), згідно з якою припускається, що відхилення
мають такий розподіл імовірностей, який зберігається для всіх
спостережень. Тоді дисперсія залишків лишається незмінною для кожного
спостереження.

, то ця її властивість називається гомоскедастичністю.

Часто у практичних дослідженнях явище гомоскедастичності порушується.
Випробування на наявність чи відсутність гомоскедастичності звичайно не
практикується, але здебільшого можна висунути гіпотези про
правдоподібність альтернативних припущень щодо пропорційності помилки до
X. Так, наприклад, при побудові економетричної моделі, що характеризує
залежність між заощадженнями і доходами населення на підставі
теоретичної та практичної інформації, можна висунути гіпотезу, що
дисперсія залишків за окремими групами населення змінюватиметься і буде
пропорційною до середнього доходу цієї групи. Коли розглядати
економетричну модель, що характеризує залежність між дивідендами і
розміром прибутку або між витратами на харчування і доходом на одного
члена сім’ї, витратами на харчування і загальними витратами, то також
можна припустити, що дисперсія залишків для окремих груп спостережень
змінюватиметься.

, то це явище називається гетероскедастичністю*.

Якщо існує гетероскедастичність залишків, то це спричинюється до того,
що оцінки параметрів моделі 1МНК будуть незміщеними, обгрунтованими, але
неефективними. При цьому формулу для стандартної помилки оцінки, строго
кажучи, застосувати не можна.

пропорційна до величини Х. Тоді доцільно виконати перетворення
вихідної інформації, поділивши, наприклад, усі змінні на Х. Модель
набере вигляду

У результаті для оцінювання параметрів можна застосувати 1МНК.
Зауважимо, що параметри а0 і а1 помінялися ролями. Вільним членом моделі
замість а0 став параметр а1.

Приклад 7.1. побудуємо економетричну модель, що характеризує залежність
між заощадженнями та доходом населення, млрд ф.ст. (табл. 7.1).

Таблиця 7.1

Рік 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Заощадження 0,36 0,2 0,08 0,20 0,10 0,12 0,41 0,50 0,43

Дохід 8,8 9,4 10,0 10,6 11,0 11,9 12,7 13,5 14,3

Рік 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Заощадження 0,59 0,90 0,95 0,82 1,04 1,53 1,94 1,75 1,99

Дохід 15,5 16,7 17,7 18,6 19,7 21,1 22,8 23,9 25,2

Скориставшись оператором оцінювання 1МНК

= 0,1178.

Економетрична модель має вигляд

= 0,918, а це означає, що варіація заощаджень Y на 91,8% визначається
варіацією доходів населення.

На перший погляд, результат наводить на думку, що специфікація моделі не
містить помилки.

Але логічно висунути гіпотезу, що відхилення заощаджень від норми можуть
бути пропорційними до доходу, тобто для цієї моделі дуже ймовірне
існування гетероскедастичності залишків.

Отже, вихідну інформацію доцільно перетворити, поділивши обидві змінні
на величину доходу X (табл. 7.2):

Таблиця 7.2

0,065 0,060 0,056 0,054 0,051 0,047 0,044 0,042 0,040

Нове рівняння зв’язку згідно з даними табл.7.2 має вигляд

характеризує відносний показник — рівень заощаджень, який припадає на
одиницю доходу.

мають відносно більшу питому вагу при оцінюванні параметрів моделі,
ніж у першому варіанті.

З наведеного прикладу бачимо, що явище гетероскедастичності не
впливатиме на оцінки параметрів 1МНК, якщо певним чином перетворити
вихідну інформацію. При цьому якщо економетрична модель має лише дві
змінні, то це можна зробити так, як у прикладі 7.1.

— відома симетрична додатно визначена матриця.

Методи визначення гетероскедастичності

Можливість перевірки припущень про наявність гетероскедастичності
залежить від природи вихідних даних. Розглянемо методи перевірки
гетероскедастичності для різних вихідних даних.

Перевірка гетероскедастичності на основі критерію (

Цей метод застосовується тоді, коли вихідна сукупність спостережень
досить велика. Розглянемо відповідний алгоритм.

відповідно до зміни рівня величини Y.

Крок 2. За кожною групою даних обчислюється сума квадратів відхилень:

Крок 3. Визначається сума квадратів відхилень в цілому по всій
сукупності спостережень:

де n — загальна сукупність спостережень; nr — кількість спостережень
r-ї групи.

Крок 7. Обчислюється критерій:

, то спостерігається гетероскедастичність.

Приклад 7.2. Для даних, які наведено в прикладі 7.1, перевіримо
наявність гетероскедастичності згідно з критерієм (.

Розв’язання.

Крок 1. Розіб’ємо дані, які наведені в табл. 7.1, на три групи, по шість
спостережень у кожній.

група I група II група III

0,36 0,41 0,82

0,20 0,50 1,04

0,08 0,43 1,53

0,20 0,59 1,94

0,10 0,90 1,75

0,12 0,95 1,99

Крок 2. Обчислимо суму квадратів відхилень індивідуальних значень кожної
групи від свого середнього значення:

Крок 3. Знайдемо суму квадратів відхилень за всіма трьома групами:

= S1 + S2 + S3 = 0,05313 + 0,2822 + 1,1703 = 1,5056.

Крок 4. Обчислимо параметр

Крок 5. Знайдемо критерій

Цей критерій наближено задовольняє розподіл (2 з k – 1 = 2 ступенями
свободи. Порівняємо значення критерію з табличним значенням критерію (2
з k – 1 = 2 ступенями свободи при рівні довіри 0,99 (2кр = 9,21.
Оскільки ( > (2кр, то дисперсія може змінюватись, тобто для даних табл.
7.1 спостерігається гетероскедастичність.

Параметричний тест Гольдфельда — Квандта

Коли сукупність спостережень невелика, то розглянутий метод не
застосовний.

, тобто дисперсія залишків зростає пропорційно до квадрата однієї з
незалежних змінних моделі:

Y = XA + u.

Для виявлення наявності гетероскедастичності згадані вчені склали
параметричний тест, в якому потрібно виконати такі кроки.

Крок 1. Упорядкувати спостереження відповідно до величини елементів
вектора Xj.

Крок 2. Відкинути c спостережень, які містяться в центрі вектора. Згідно
з експериментальними розрахунками автори знайшли оптимальні
співвідношення між параметрами c і n, де n — кількість елементів век-

перевищує кількість змінних m.

— залишки за моделлю (1);

— залишки за моделлю (2).

Крок 7. Обчислити критерій

, то гетероскедастичність відсутня.

Приклад 7.3. У табл. 7.3 наведено дані про загальні витрати та витрати
на харчування. Для цих даних перевірити гіпотезу про відсутність
гетероскедастичності.

Таблиця 7.3

Номер

спостереження Витрати на

u u2

1 2,30 15 2,16 0,14 0,020

2 2,20 15 2,16 0,04 0,002

3 2,08 16 2,20 -0,12 0,015

4 2,20 17 2,25 -0,05 0,002

5 2,10 17 2,25 -0,15 0,022

6 2,32 18 2,29 0,26 0,0007

7 2,45 19 2,34 0,11 0,012

8 2,50 20

9 2,20 20

10 2,50 22

11 3,10 64

12 2,50 68 2,37 0,13 0,016

13 2,82 72 2,52 0,29 0,085

14 3,04 80 2,68 0,36 0,128

15 2,70 85 2,99 -0,29 0,084

16 3,94 90 3,18 0,76 0,573

17 3,10 95 3,38 -0,28 0,076

18 3,99 100 3,57 0,42 0,178

Розв’язання.

1. Ідентифікуємо змінні:

Y — витрати на харчування, залежна змінна;

X — загальні витрати, незалежна змінна;

Y = f (X, u).

2. Для перевірки гіпотези про відсутність гетероскедастичності
застосуємо параметричний тест Гольдфельда – Квандта.

2.1. Упорядкуємо значення незалежної змінної від меншого до більшого і
відкинемо c значень, які містяться всередині впорядкованого ряду:

c ( 4.

2.3. Визначимо залишки за цими двома моделями:

;

Залишки та квадрати залишків наведено в табл. 7.3.

2.4. Обчислимо залишкові дисперсії та знайдемо їх співвідношення:

2.5. Порівняємо критерій R* з критичним значенням F-критерію при (1 = 5
і (2 = 5 ступенях свободи і рівні довіри Р = 0,99 F( = 0,01 = 11.
Оскільки R* > Fкр, то вихідні дані мають гетероскедастичність.

Непараметричний тест Гольдфельда – Квандта

Закономірність зміни залишків, коли дисперсія є однорідною, — явище
гомоскедастичності ілюструє рис. 7.1, а на рис.7.2 спостерігається явище
гетероскедастичності.

Цей тест, звичайно, не такий надійний, як параметричний, але він досить
простий.

Зауважимо, що на рис.7.1 зображено, як змінюються залишки, що мають
постійну дисперсію, а на рис.7.2 — залишки, дисперсія яких змінна для
різних груп стостережень.

Тест Глейсера

. Для цього використовуються такі види функцій:

і т.ін.

Приклад 7.4. Нехай потрібно перевірити наявність гетероскедастичності
при побудові економетричної моделі, яка описуватиме залежність між
доходом і рівнем заощаджень. Вихідні дані наведено в табл.7.4.

Таблиця 7.4

Місяць Дохід Заощадження Місяць Дохід Заощадження

1 10,8 2,36 10 17,5 2,59

2 11,4 2,20 11 18,7 2,90

3 12,0 2,08 12 19,7 2,95

4 12,6 2,20 13 20,6 2,82

5 13,0 2,10 14 21,7 3,04

6 13,9 2,12 15 23,1 3,53

7 14,7 2,41 16 24,8 3,44

8 15,5 2,50 17 25,9 3,75

9 16,3 2,43 18 27,2 3,99

Використаємо параметричний тест Гольдфельда — Квандта для встановлення
гетероскедастичності при визначенні залежності між наведеними
показниками.

Розв’язання. Ідентифікуємо змінні:

Y — заощадження — залежна змінна;

Х — дохід — пояснювальна змінна, Y = f(X).

Крок 1. Вихідна сукупність спостережень упорядковується відповідно до
величини елементів вектора Х, який може впливати на зміну величини
дисперсії залишків. Оскільки в табл. 7.3 дані про дохід упорядковані, то
переходимо до наступного кроку.

спостережень.

. Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі
запишеться так:

= 2,1216;

= 0,007.

Економетрична модель має вигляд

за другою сукупністю спостережень, починаючи від дванадцятого по
вісімнадцятий місяць.

Система нормальних рівнянь для визначення параметрів цієї моделі
запишеться так:

= – 0,408;

= 0,165.

Економетрична модель має вигляд:

— величини заощадження за кожною з двох моделей і визначимо відхилення
фактичних значень заощаджень від розрахункових.

Таблиця 7.5 Таблиця 7.6

u u2

1 2,36 2,00 0,36 0,1296

12 2,95 2,99 –0,04 0,0016

2 2,20 2,06 0,14 0,0196

13 2,82 3,09 –0,27 0,0729

3 2,08 2,13 –0,05 0,0025

14 3,04 3,21 –0,17 0,0289

4 2,20 2,19 0,01 0,0001

15 3,53 3,37 0,16 0,0256

5 2,10 2,24 –0,14 0,0196

16 3,94 3,56 0,38 0,1444

6 2,12 2,34 –0,22 0,0484

17 3,75 3,68 0,07 0,0049

7 2,41 2,43 –0,02 0,0004

18 3,99 3,83 0,16 0,0256

Разом

0,2202

Разом

0,3039

У табл.7.5 наведено результати обчислення суми квадратів залишків за
першою моделлю S1 = 0,2202.

У табл.7.6 наведено обчислення суми квадратів залишків за другою моделлю
S2 = 0,3039.

Крок 6. Обчислимо критерій R*, який наближено відповідає F-розподілу:

Порівняємо його значення з табличним значенням F-критерію при вибраному
рівні довіри Р = 0,99 і ступенях свободи (1 = 5 і (2 = 5. Fтабл = 11.
Звідси R* „?? * , R j hH & hH " hH hH hH hH hH " hH hH hH hH hH hH hH ?AE gdH o gdH gdH gdH ??????AE gdH o a$gdH o gdH gdH o gdH eOeC·C·COeC??OeCwC·gC·gC·gC·gCS& hH hH hH j hH hH hH hH hH hH # hH gdH Ff gdH gdH o a$gdH o gdH gdH gdH o gdH Ff $Ifa$gdH gdH 6t6¤6F7„7oooiaUaaaaUUaUaaaUaIaIaa gdH gdH o gdH gdH j hH hH " hH hH hH hH m? hH ?????????????????j6l6n6p6t6v6?6?6 6c6?6¬6oe6o6ue6th60727F7T7„7†7¬7eN3/4? 3/4?—?3/4?p?p^p?p?L?3/4?" hH " hH hH gdH o gdH gdH gdH gdH gdH ,=6=@=B=->X>’>Ae>oe>|? @L@|@ii’†††yy†m†m

gdH

a$gdH

gdH

m? hH

1/4a}aIaIaka}YaE& hH

” hH

Y I

ytH

gdH

” hH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

Y I

ytH

gdH

0Z2Z4Z6Z”[$[J[L[N[P[„[?[¶[?[O[Oe[O[U[ae[e[e[i[4\8\F\H\eOeAE·Oe·??Oe·AE·A
E·vfT·vfT·AE·AE” hH

g? hH

” hH

a? hH

p?piaIaµ?Ia?a{ail[l[la{a{a?aiaiaiaia?a hH

gdH

a$gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

ytH

gdH

?*?,?0?4?E?E?eOeCµCµYC”C”C”C?C?CtctSCStc hH

gdH

$.JLNP^`lnpr?‚D?oooooooooooioooooooooooeY

gdH

$ hH

# hH

& hH

gdH

% hH

” hH

g? hH

??????????стереження до іншого, тоді як залежна змінна має такі самі
коливання, як і для попередніх спостережень.

Але це означає, що дисперсія залишків, яка змінюватиметься від одного
спостереження до іншого (чи для групи спостережень), може бути
пропорційною до величини пояснювальної змінної X (або до її квадрата),
яка зумовлює гетероскедастичність, або пропорційною до квадрата
залишків.

можна обчислити, користуючись гіпотезами:

;

);

, тобто дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрата залишків за
модулем.

, матриця P має вигляд:

, якщо побудова економетричної моделі пов’язана з явищем
гетероскедастичності.

, Xi — дохід в і-му місяці. Тоді матриця S –1 запишеться так:

Стовпці (1–9) Стовпці (10 –18)

Узагальнений метод найменших квадратів

(метод Ейткена)

Економетрична модель, якій притаманна гетероскедастичність, є
узагальненою моделлю, і для оцінювання її параметрів слід скористатися
узагальненим методом найменших квадратів. Розглянемо цей метод.

Нехай задано економетричну модель

(7.1)

Задача полягає в знаходженні оцінок елементів вектора А в моделі. Для
цього використовується матриця S, за допомогою якої коригується вихідна
інформація. Ця ідея була покладена в основу методу Ейткена.

Базуючись на особливостях матриць Р і S, які були розглянуті в
підрозд. 7.3, можна записати співвідношення між цими матрицями та
оберненими до них.

, де матриця P є невиродженою, тобто:

, (7.2)

коли

; (7.3)

. (7.4)

, дістанемо:

. (7.5)

;

Тоді модель матиме вигляд:

. (7.6)

Використовуючи (7.3), неважко показати, що

тобто модель (7.6) задовольняє умови (4.2), коли параметри моделі можна
оцінити на основі 1МНК.

Звідси

. (7.7)

Ця оцінка є незміщеною лінійною оцінкою вектора А, який має найменшу
дисперсію і матрицю коваріацій

(7.8)

можна дістати так:

(7.9)

, яку знайдено за допомогою (7.7), є оцінкою узагальненого методу
найменших квадратів (методу Ейткена).

, дістанемо:

(7.10)

виміряна відносно початку відліку, а не у формі відхилення від
середньої, то необхідно визначити її середнє значення і скористатись ним
для корекції загальної суми квадратів і суми квадратів регресії.

Модель узагальненого методу найменших квадратів іноді специфікується у
вигляді

(7.11)

— відома симетрична додатно визначена матриця. Тоді вираз для оцінки
параметрів згідно з методом Ейткена запишеться так:

, (7.12)

а для її коваріаційної матриці

. (7.13)

Приклад 7.6. Використовуючи дані табл.7.3 (див. приклад 7.2), знайдемо
оцінки параметрів моделі згідно з методом Ейткена.

Розв’язання. Оператор оцінювання методом Ейткена запишеться так:

, потрібно обчислити:

1) добуток матриць

2) добуток матриць

;

4) матрицю

;

5) оцінку параметрів моделі

Економетрична модель витрат на харчування запишеться так:

Приведемо економіко-математичний аналіз характеристик економетричної
моделі.

1. Коефіцієнт детермінації R2 = 0,722. Це означає, що на 72,2 %
варіація витрат на харчування залежить від загальних витрат.

= 0,85 свідчить про досить тісний зв’язок між витратами на харчування
та загальними витратами.

= 0,083 показує, що розрахункові значення витрат на харчування дуже
близькі до фактичних.

свідчить про те, що збільшення загальних витрат на одиницю сприятиме
граничному зростанню витрат на харчування на 0,014 одиниць.

5. Економетрична модель, параметри якої оцінені методом 1МНК, має вигляд

= 1,999 + 0,0145X,

= 0,097. Звідси, порівнявши її характеристики з моделлю, параметри
якої оцінені методом Ейткена, можна стверджувати, що в даному разі
оцінки ефективніші.

Прогноз

Коли параметри економетричної моделі оцінюються узагальненим методом
найменших квадратів, проблема прогнозування потребує спеціального
дослідження.

. Можна записати

(7.14)

(7.15)

(7.16)

де W — вектор коваріацій поточних і прогнозних значень залишків.

Сформулюємо лінійний прогноз:

, (7.17)

де с — n-вимірний вектор, який має мінімізувати дисперсію прогнозу:

(7.18)

Враховуючи (7.14) і (7.17), можна записати відхилення

З умови незміщеності прогнозу випливає, що вектор с повинен задовольняти
рівність

= 0. (7.19)

Тоді помилка прогнозу матиме вигляд:

— скаляр, то дисперсія прогнозу:

(7.20)

стане мінімальною. Тому формулюємо задачу:

(7.21)

за умови незміщеності прогнозу:

= 0.

Щоб розв’язати задачу (7.21), будуємо функцію Лагранжа

де ( — (m – 1)-вимірний вектор, компонентами якого є множники Лагранжа.
Продиференціювавши функцію за невідомими параметрами с і ( і прирівнявши
похідні до нуля, дістанемо рівняння

Підставимо це значення в (7.13) і визначимо найкращий лінійний
незміщений прогноз

(7.22)

— вектор залишків, який відповідає оцінці параметрів моделі на основі
1МНК.

Отже, для прогнозу можна використовувати співвідношення (7.22). Цей
прогноз має дві особливості:

, обчислений згідно з узагальненим методом найменших квадратів;

застосовується матриця V, яка містить інформацію про взаємозалежність
залишків базисного періоду.

висновки

, то це явище називається гомоскедастичністю, причому воно є однією з
чотирьох необхідних умов для застосування 1МНК при оцінюванні параметрів
моделі.

, то це явище називається гетероскедастичністю, і воно спричинюється до
того, що оцінки параметрів моделі 1МНК будуть незміщеними,
обгрунтованими, але неефективними.

3. За наявності гетероскедастичності в простій економетричній моделі,
тобто Y = a0 + a1Х + uХ, щоб оцінити параметри 1МНК, достатньо ліву і
праву частини моделі поділити на Х, що практично змінює специфікацію
моделі.

— невідомий параметр.

4. Перевірка припущень про наявність гетероскедастичності залежить від
природи вихідних даних. Для перевірки наявності гетероскедастичності
використовуються чотири методи.

4.1. Критерій (.

4.2. Параметричний тест Гольдфельда — Квандта.

4.3. Непараметричний тест Гольдфельда — Квандта.

4.4. Тест Глейсера.

5. Алгоритм для знаходження критерію ( складається з п’яти кроків:

згідно зі зміною рівня величини Y.

5.2. За кожною групою спостережень обчислюється сума квадратів
відхилень:

5.3. Відшукується сума квадратів відхилень у цілому за всією сукупністю
спостережень:

5.4. Обчислюється параметр (:

де n — кількість спостережень у цілому; nr — кількість спостережень r-ї
групи.

5.5. Обчислюється критерій (:

( = – 2 ln(,

який наближено відповідатиме розподілу (2. Якщо значення ( менше за
табличне значення (2 при вибраному рівні довіри і ступені свободи k – 1,
то гетероскедастичність відсутня.

6. Параметричний тест Гольдфельда — Квандта складається з п’яти кроків.

6.1. Спостереження (вихідні дані) впорядковуються відповідно до величини
елементів вектора Xj, який може викликати зміну дисперсії залишків.

6.2. Відкидається c спостережень, які містяться всередині векторів
вихідних даних, де

перевищує кількість змінних m.

6.4. Обчислюється сума квадратів залишків за першою S1 та другою S2
моделями:

де u1 — залишки за моделлю (1);

де u2 — залишки за моделлю (2).

ступенями свободи.

Обчислене значення критерію порівнюється з табличним значенням

F-критерію при вибраному рівні довіри і відповідних ступенях свободи.
Якщо R* ( Fтабл , то гетероскедастичність відсутня.

7. Непараметричний тест Гольдфельда – Квандта базується на числі піків
величини залишків після упорядкування спостережень за Xij. Якщо для всіх
значень змінної Xij залишки розподіляються приблизно однаково, то
дисперсія їх однорідна, у противному разі вона змінюється.

8. Тест Глейсера для перевірки гетероскедастичності базується на
побудові регресійної функції, що характеризує залежність величини
залишків за модулем від пояснювальної змінної Xj, яка може викликати
зміну дисперсії залишків.

Рішення про відсутність гетероскедастичності залишків приймається на
підставі значущості коефіцієнтів (0 і (1. Перевага цього методу полягає
в тому, що він дає змогу розрізняти випадок чистої і змішаної
гетероскедастичності. Чистій гетероскедастичності відповідають значення
параметрів (0 = 0, (1 ( 0, а змішаній (0 ( 0, (1 ( 0.

має бути додатно визначеною і діагональною:

10. У цій матриці значення (і можна обчислити трьома способами, залежно
від того, яку гіпотезу висунуто відносно зміни дисперсій залишків:

;

11. За наявності гетероскедастичності для оцінювання параметрів моделі
доцільно застосувати узагальнений метод найменших квадратів (метод
Ейткена), оператор оцінювання якого має вигляд

у такому разі містить незміщену лінійну оцінку параметрів моделі, яка
має найменшу дисперсію і матрицю коваріацій

12. Оператор узагальненого методу найменших квадратів іноді
специфікується у вигляді

13. Коли параметри моделі оцінюються за методом Ейткена, то загальна
сума квадратів залежної змінної розбивається на суму квадратів регресії
і суму квадратів залишків:

Відповідно дисперсії такі:

;

Зауважимо, що в цих співвідношеннях вектор залежної змінної Y
розглядається як відхилення від середньої.

14. Найкращий лінійний незміщений прогноз за моделю, оцінки якої
знайдені за методом Ейткена, визначатиметься зі співвідношення

ЛІТЕРАТУРА

Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980.

Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и
статистика, 1986.

Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12.

Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое
моделирование. –– М., 1975.

Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975.

Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964.

Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971.

Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы
математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962.

Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып.
1,2.

Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975.

Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в
эконометрии. –– М., 1979.

Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964.

Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978.

Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд.

Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States,
1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.

* Обидва терміни — гомоскедастичність і гетероскедастичність
запропоновані російським вченим А.А.Чупровим (Див.: Основные проблемы
теории корреляции. — 2-е изд. — М.: Госстатиздат, 1960, с. 39).

PAGE

?en. 7.2.

?en. 7.1.

xij

Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter