Реферат на тему:
Дисперсійний аналіз економетричної моделі
Між оцінками параметрів економетричної моделі та коефіцієнтом
кореляції, що характеризує тісноту зв’язку, існує зв’язок. Для простої
економетричної моделі його можна записати так:
,
— коефіцієнт парної кореляції;
— середньоквадратичне відхилення відповідно залежної і незалежної
змінної.
Це співвідношення було покладено в основу алгоритму визначення
альтернативної оцінки параметрів моделі за методом 1МНК. Алгоритм має
назву покрокової регресії і наступні кроки:
Крок 1. Стандартизація (нормалізація) всіх змінних моделі:
, елементи якої розраховуються таким чином:
. Будується економетрична модель:
.
, то ця змінна вводиться в побудовану раніше економетричну модель; в
результаті дістанемо:
і т.д.
Процес продовжується до тих пір, поки всі незалежні змінні поступово
будуть включені в модель. Якщо є обмеження, яке вказує на недоцільність
розширення економетричної моделі за рахунок змінних, що залишилися, то
процес розрахунку закінчується раніше. Таким обмеженням може бути
співвідношення між коефіцієнтом кореляції чи детермінації, виправленими
й невиправленими на число ступеней свободи.
Система нормальних рівнянь у даному алгоритмі:
, тоді система рівнянь у матричному вигляді матиме такий вигляд:
.
, тобто отримаємо альтернативний оператор оцінювання параметрів моделі
за методом 1МНК.
відносяться до стандарти-зованих змінних, то щоб перейти до оцінок
параметрів моделі, в якій змінні мають свій початковий вимір, необхідно:
Множинний коефіцієнт детермінації, який визначає рівень варіації
залежної змінної за рахунок незалежних, розраховується таким чином:
, чи
.
Коефіцієнт детермінації без урахування числа ступеней свободи:
.
Співвідношення між ними дорівнюватиме:
.
характеризує тісноту зв’язку між залежною і незалежними змінними.
Множинний коефіцієнт детермінації і кореляції знаходяться на множині
Якщо оцінка параметрів моделі отримана на основі покрокової регресії, то
для визначення коефіцієнта детермінації можна використати такі
співвідношення:
;
.
-критерію:
.
табл , то гіпотеза про суттєвість зв’язку між залежною і незалежними
змінними економетричної моделі підтверджується, в протилежному випадку —
відкидається.
— критерію через коефіцієнт детермінації:
.
— критерію:
.
табл , то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.
:
.
Прогноз залежної змінної на основі економетричної моделі при заданих
залежних змінних можна виконати на основі такого співвідношення:
.
є стандартною помилкою прогнозу:
,
— прогнозні значення незалежних змінних.
Приклад дисперсійного аналізу економетричної
моделі та прогноз
Приклад 3.1. Визначити коефіцієнти детермінації та кореляції для
економетичної моделі, яка побудована в прикладі 2.1. Перевірити гіпотезу
про суттєвість зв’язку на основі F- і t- критеріїв. Виконати прогноз
витрат на харчування, якщо загальні затрати становитимуть 900 одиниць, а
середній склад сім’ї – 8,5.
Розв’язання
Економетрична модель має вигляд:
.
1. Визначимо коефіцієнт детеpмінації на основі співвідношення:
,
— відповідно залишкова й загальна дисперсії.
.
Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація витрат
на харчування на 96,09% визначається варіацією загальних затрат і складу
сім’ї.
. Оскільки коефіцієнт кореляції наближається до одиниці, то це
свідчить, що зв’язок між витратами на харчування, загальними затратами і
складом сім’ї є дуже тісним.
3. Визначимо F- критерій (критерій Фішера):
.
Оскільки Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про значущість зв’язку, який
описується економетричною моделлю, підтверджується.
4. Розрахуємо t- критерії:
дорівнює 2,16. Враховуючи, що
. У цьому випадку tтабл = 1,77. А це означає, що 10-процентний рівень
довіри підтверджує значущість вільного члена моделі.
5. Побудуємо довірчі інтервали для оцінок параметрів моделі:
Розрахуємо прогнозне значення витрат на харчування на основі еконо-
метричної моделі.
6.1. Визначимо точковий прогноз витрат на харчування на основі моделі:
6.2. Знайдемо дисперсію прогнозу:
.
6.3. Стандартна помилка прогнозу:
6.4. Визначимо довірчі інтервали прогнозного рівня витрат на харчування:
.
.
Таким чином, точковий прогноз витрат на харчування дорівнює 233,1678
одиниць, а інтервальний буде знаходитись у межах від 211,8896 до
254,4455 одиниць.
Приклад 3.2. Побудувати економетричну модель, яка характеризує
залежність між продуктивністю праці, фондомісткістю продукції та
плинністю робочої сили, на основі покрокової регресії. Перевірити
достовірність моделі та її параметрів. Дати змістовне тлумачення
параметрів моделі. Вихідні дані наведені в табл. 3.1.
Таблиця 3.1
№ п / п Продуктивність
праці Фондомісткість продукції Плинність робочої сили
1 32 1,0 20
2 29 0,5 16
3 30 0,8 14
4 31 0,7 10
5 25 0,6 24
6 34 0,6 13
7 29 0,8 18
8 24 0,5 15
9 20 0,6 15
10 33 1,0 8
Розв’язання
1. Ідентифікуємо змінні моделі:
Y — продуктивність праці, залежна змінна;
X1 — фондомісткість продукції, незалежна змінна;
X2— плинність робочої сили, незалежна змінна.
У загальному вигляді економетрична модель:
.
hS
jQ hS
hS
hS
j hS
hS
j hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
~
aV
?
gdS
aiV
X
x
z
|
?
c
¤
¦
?
¶
o
u
hS
hS
j3/4 hS
hS
– hS
hS
hS
hS
j hS
hS
hS
hS
hS
??
UeIUeIkZUeIJIUeI- hS
j hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
j hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
hS
j hS
j` hS
hS
&/eesseesseessessssessessessess/eesse
d8`„7a$
hS
hS
j hS
hS
hS
hS
hS
hS
j hS
hS
hS
j”9 hS
hS
jY7 hS
hS
jk4 hS
hS
hS
j hS
je1 hS
hS
hS
hS
jYA hS
jbI hS
hS
jEF hS
hS
j E hS
hS
hS
j hS
j]C hS
hS
hS
jaN hS
hS
j hS
hS
j/L hS
hS
hS
j hS
K hS
hS
hS
T hS
hS
jNR hS
hS
hS
hS
hS
j hS
j?P hS
hS
jssZ hS
hS
jUX hS
hS
hS
j hS
j?V hS
j?c hS
hS
juea hS
j~m hS
hS
j{k hS
hS
j?h hS
hS
hS
j hS
j!e hS
hS
hS
jTr hS
hS
^„o `„7
jHy hS
hS
jUw hS
hS
hS
j hS
jot hS
hS
hS
ja‚ hS
hS
hS
j hS
je? hS
hS
hS
hS
hS
hS
j»? hS
hS
jE? hS
hS
hS
j hS
jE? hS
hS
hS
hS
hS
hS
jd hS
hS
hS
hS
jN? hS
hS
hS
j hS
j?— hS
j‰¬ hS
hS
j°© hS
hS
jS¦ hS
hS
hS
hS
hS
j hS
jrF hS
`„7a$
&
gdS
hS
jo? hS
hS
j?? hS
hS
jI? hS
hS
hS
hS
j hS
jA hS
hS
hS
hS
IlIlcc[OOO
Специфікуємо модель в лінійній формі:
Оскільки оцінка параметрів моделі за методом 1МНК виконуватиметься на
основі покрокової регресії, то спочатку буде побудована економетрична
модель виду:
,
де
3. Нормалізуємо змінні моделі. Розрахунки представимо в табл. 3.2.
Таблиця 3.2
№
1 32 1 20 3,3000 0,2900
4,7000 10.8900 0,0841 22,0900
2 29 0,5 16 0,3000 –0,2100
0,7000 0,0900 0,0441 0,4900
3 30 0,8 14 1,3000 0,0900
–1,3000 1,6900 0,0081 1,6900
4 31 0,7 10 2,3000 –0,0100
–5,3000 5,2900 0,0001 28,0900
5 25 0,6 24 –3,7000 –0,1100
8,7000 13,6900 0,0121 75,6900
6 34 0,6 13 5,3000 –0,1100
–2,3000 28,0900 0,0121 5,2900
7 29 0,8 18 0,3000 0,0900
2,7000 0,0900 0,0081 7,2900
Продовження табл. 3.2.
8 24 0,5 15 –4,7000 –0,2100
–0,3000 22,0900 0,0441 0,0900
9 20 0,6 15 –8,7000 –0,1100
–0,3000 75,6900 0,0121 0,0900
10 33 1 8 4,3000 0,2900
287 7,1 153
176,1 0,309 194,1
Продовження табл. 3.2
№
1 0,7864 1,6489 1,0668
2 0,0715 –1,1946 0,1589
3 0,3098 0,5120 –0,2951
4 0,5481 –0,0569 –1,2030
5 –0,8817 –0,6258 1,9747
6 1,2630 –0,6258 –0,5221
7 0,0715 0,5120 0,6128
8 –1,1200 –1,1946 –0,0681
9 –2,0732 –0,6258 –0,0681
10 1,0247 1,6498 –1,6570
Середні значення:
.
Дисперсія:
Середньоквадратичні відхилення:
;
4. Побудуємо кореляційну матрицю (матрицю парних коефіцієнтів
кореляції):
.
Розрахунок елементів кореляційної матриці наведено в табл. 3.3.
Таблиця 3.3
0,6184 2,7217 1,1381 1,2973 0,8389 1,7600
0,0051 1,4272 0,0252 –0,0854 0,0114 –0,1898
0,0960 0,2621 0,0871 0,1586 –0,0914 –0,1511
0,3004 0,0032 1,4472 –0,0312 –0,6593 0,0684
0,7774 0,3916 3,8995 0,5517 –1,7411 –1,2357
1,5951 0,3916 0,2725 –0,7903 –0,6593 0,3267
0,0051 0,2621 0,3756 0,0366 0,0438 0,3138
1,2544 1,4272 0,0046 1,3380 0,0763 0,0813
4,2981 0,3916 0,0046 1,2973 0,1412 0,0426
1,0500 2,7217 2,7455 1,6905 –1,6978 –2,7336
Всього
10,0000 10,0000 10,0000 5,4632 –3,7375 –1,7174
Звідси кореляційна матриця:
.
5. Враховуючи, що
,
то на першому етапі треба побудувати економетричну модель виду:
.
має вигляд:
Запишемо модель:
,
, в результаті модель набуде такого вигляду:
.
Система рівнянь для визначення параметрів цієї моделі:
Розв’язавши систему рівнянь, отримаємо:
Економетрична модель має вигляд:
.
7. Розрахуємо коефіцієнти детермінації та кореляції:
Це значення коефіцієнта детермінації свідчить про те, що варіація
продуктивності праці лише на 37,9% визначається варіацією фондомісткості
продукції та плинності робочої сили.
Коефіцієнт кореляції характеризує не тісний зв’язок факторів із
продуктивністю праці.
8. Оцінимо достовірність моделі та її параметрів на основі критеріїв
Фішера та Стьюдента.
Fтабл = 19,36. Оскільки Fфакт ЛІТЕРАТУРА Джонстон Дж. Эконометрические методы.— М., 1980. Дрейлер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1986. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. — М.: 1977.– Вып.12. Класc А., Гергели К., Колек Ю., Шуян И. Введение в эконометрическое моделирование. –– М., 1975. Крамер Г. Математические методы статистики. — М., 1975. Ланге О. Введение в эконометрику. –– М., 1964. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. –– М., 1971. Линник Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической обработки наблюдений. — М., 1962. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М., 1975 – 1976. Вып. 1,2. Мальцев А. Н. Основы линейной алгебры. –– М., 1975. Пирогов Г., Федоровский Ю. Проблемы структурного оценивания в эконометрии. –– М., 1979. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. –– М., 1964. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М., 1978. Чупров А. А. Основные проблемы теории корреляции. — М., 1960. 2-е изд. Klein L. R., Goldberger A. S. An Ekonometric Model of United States, 1929 – 1952 North Holland, Amsterdam, 1964.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter