UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваНовий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни рівняння системою
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4525
Скачало506
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Новий метод розв’язування кубічного алгебраїчного рівняння. Метод

Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня. Метод заміни

рівняння системою двох рівнянь. Розв’язування рівнянь у цілих числах

 

1. Відшукуємо розв’язок алгебраїчного рівняння

 

(1)

 

Сутність методу полягає в тому, що рівняння (1) перетворюється до

вигляду

 

(2)

 

або

 

(3)

 

Викладемо спочатку допоміжний результат.

 

Теорема 1. Для того щоб корені рівняння (1), розміщені на комплексній

площині, були вершинами рівностороннього трикутника, необхідно і

достатньо, щоб виконувалась рівність

 

(4)

 

тобто щоб похідна рівняння (1) мала двократний корінь.

 

Доведення. Необхідність. Нехай рівняння (1) має корені

 

 

які є вершинами рівностороннього трикутника. Знаходимо коефіцієнти

рівняння (1):

 

.

 

Вони, як легко переконатися, задовольняють рівняння (4). Достатність.

Нехай виконується умова (4). Позначимо

 

 

знаходимо вираз

 

 

:

 

 

має корені

 

 

які є вершинами рівностороннього трикутника.

 

є вершинами рівностороннього трикутника, якщо виконується одне з

рівнянь

 

 

які можна записати у вигляді

 

(5)

 

Кожне з рівнянь (5) рівносильне рівнянню (4).

 

2. Доведемо основний результат.

 

Теорема 2. Якщо умова (4) не виконується і всі корені рівняння (1)

різні, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (2). Якщо умова

(4) виконується, то рівняння (1) можна перетворити в рівняння виду (3).

 

Доведення. Для відшукання коефіцієнтів рівняння (2) маємо систему

рівнянь

 

(6)

 

знаходимо:

 

(7)

 

дістанемо симетричну систему рівнянь для a, b

 

 

яку можна записати у вигляді

 

(8)

 

 

Ця система рівнянь має розв’язок

 

(9)

 

Коефіцієнти a, b є коренями квадратного рівняння

 

 

Дискримінант D цього рівняння

 

 

відрізняється від дискримінанта зведеного кубічного рівняння (1).

 

 

Зауважимо, що з рівнянь

 

 

рівняння (1):

 

 

 

Якщо виконується умова (4), то рівняння (1) можна записати у вигляді

рівняння (3). Для відшукання коефіцієнтів рівняння (3) маємо систему

рівнянь

 

 

розв’язну в разі виконання умови (4). Рівняння (1) можна записати у

вигляді

 

 

Приклад 1. Розв’язати кубічне рівняння

 

 

Згідно з формулами (7)—(9) знаходимо:

 

 

Рівняння виду (2) набирає вигляду

 

 

і має розв’язок

 

 

Рівняння має дійсний корінь

 

 

Приклад 2. Розв’язати рівняння

 

.

 

Знаходимо значення

 

 

Рівняння виду (2) набирає вигляду

 

 

який визначається з рівнянь

 

 

 

Метод Феррарі для розв’язування рівнянь четвертого степеня

 

Метод Феррарі зводить розв’язування рівняння четвертого степеня до

розв’язування кубічного рівняння відносно введеного параметра.

Визначивши параметр, знаходять невідоме.

 

Приклад. Розв’язати рівняння

 

.

 

Виділимо повний квадрат у лівій частині рівняння, подавши його у вигляді

 

.

 

Дістанемо таке рівняння:

 

.

 

, виділяємо повний квадрат:

 

 

.

 

так, щоб права частина була повним квадратом. Для цього дискримінант

квадратного тричлена має дорівнювати нулю:

 

.

 

дістали кубічне рівняння

 

.

 

-

 

,

 

-

 

 

"

 

4

 

6

 

V

 

X

 

Z

 

\

 

ё

 

О

 

 

4

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ