Реферат на тему:
Розв’язування нерівностей
Основні поняття
), називаються нерівностями.
.
Нерівності бувають числові і буквені. Числовими називають такі
нерівності, обидві частини яких є числа, записані цифрами. Якщо хоча б
одна частина нерівності є буквеним виразом, така нерівність називається
буквеною.
Будь-яка правильна числова нерівність, а також будь-яка буквена
нерівність, що справджується при всіх допустимих значеннях букв, які
входять до неї, називається тотожною нерівністю. Наприклад:
Наведемо властивості тотожних нерівностей.
.
.
.
.
.
.
Нерівності першого степеня з одним невідомим
Нерівність, яка містить букви, що позначають невідомі числа, називається
нерівністю з невідомими.
Якщо в нерівність з одним невідомим замість невідомого підставити
яке-небудь число і в результаті дістанемо правильну числову нерівність,
то кажуть, що це число задовольняє дану нерівність.
Кожне число, що задовольняє нерівність, називають розв’язком цієї
нерівності.
Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки.
називається нерівністю першого степеня з одним невідомим.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
.
Система двох нерівностей з одним невідомим зводиться до одного з таких
випадків.
.
, то розв’язок такої системи нерівностей подається у вигляді:
.
Приклад. Розв’язати систему нерівностей
.
Система нерівностей набирає вигляду:
.
Квадратні нерівності
Розглянемо квадратну нерівність
. (1)
(рис. 1).
Рис. 1.
(рис. 2).
Рис. 2.
.
(рис. 3).
Рис. 3.
(рис. 4).
Рис. 4.
Можна сформулювати просте правило.
, то вона виконується на відрізку, обмеженому коренями рівняння (1).
.
.
.
Часто доводиться розв’язувати нерівність виду
, (2)
.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
За формулою (2) дістаємо систему нерівностей:
.
Метод інтервалів
Метод інтервалів застосовується при розв’язуванні будь-яких нерівностей,
але найчастіше до нього вдаються, розв’язуючи раціональні нерівності
виду
, (1)
непарний.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
на осі х і зображуємо криву, що визначає знаки лівої частини
нерівності (рис. 1).
Рис. 1.
.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Розкладемо ліву частину нерівності на множники:
.
які завжди додатні, дістанемо:
.
(рис. 2).
Рис. 2.
, які є розв’язками нерівності.
Приклад. Розв’язати раціональну нерівність
.
, в яких ліва частина нерівності може змінити свій знак (рис. 3).
Рис. 3.
, в яких нерівність не виконується, позначаємо порожнім кружечком.
Отже, маємо такий розв’язок нерівності:
Ірраціональні нерівності
Ірраціональні нерівності зводяться, як правило, до однієї з двох таких
нерівностей:
; (1)
. (2)
Нерівність (1) виконується в одному з двох випадків:
Нерівність (2) виконується, якщо виконуються нерівності:
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Маємо нерівність виду (1). Розв’яжемо системи нерівностей:
Приклад. Розв’язати ірраціональну нерівність
.
Маємо нерівність виду (2), розв’язання якої таке:
.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Розв’язуємо окрему нерівність і рівняння:
;
.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Розв’язуючи окремо нерівність і рівняння, дістаємо:
.
Кожну ірраціональну нерівність можна розв’язати методом інтервалів. Для
цього знаходять її ОДЗ, а далі замінюють нерівність рівністю і
розв’язують рівняння. Точки, що відповідають розв’язкам, розбивають ОДЗ
на інтервали. Якщо в одній точці деякого інтервалу нерівність
виконується, то вона виконується в усіх точках цього інтервалу. І
навпаки: якщо в будь-якій одній точці інтервалу нерівність не
виконується, то вона не виконується в усіх його точках.
Приклад. Розв’язати методом інтервалів нерівність
. (3)
знаходимо ОДЗ:
Наносимо відповідні точки на числову вісь (див. рисунок).
Розглядаємо кожний з утворених інтервалів окремо.
.
.
.
po
F-F\F?FaF/e/UeUe/E//eee/¶/?Ue/e
&
&
F
gd›%U
&
AE
gdI
&
gd›%U
gdI
?????????????????U
.
Показникові нерівності
Розв’язування показникових нерівностей зводиться до розв’язування
нерівності виду
.
.
Приклад. Розв’язати показникову нерівність
Переходячи до основи 3, дістаємо:
.
.
Приклад. Розв’язати показникову нерівність
.
Запишемо нерівність у вигляді
.
, дістаємо:
.
, дістанемо:
.
Розглядаємо два випадки:
Логарифмічні нерівності
Розв’язання логарифмічних нерівностей зводиться до розв’язування
нерівності виду
(1)
При цьому можливі два випадки:
;
.
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Запишемо цю нерівність у вигляді (1):
Приклад. Розв’язати нерівність
.
Запишемо нерівність у вигляді
.
Звідси дістаємо:
,
.
Найскладнішими є такі логарифмічні нерівності, в яких основи логарифмів
залежать від х:
(9)
Дістаємо дві системи нерівностей:
.
Об’єднання розв’язків цих систем і буде розв’язком нерівності (2).
Приклад. Розв’язати нерівність
розв’яжемо дві системи нерівностей:
Приклад. Розв’язати логарифмічну нерівність
Запишемо дану нерівність у вигляді (2):
Звідси дістаємо дві системи:
.
маємо:
маємо:
маємо:
.
Деякі типові задачі вищої математики,
що зводяться до розв’язування системи нерівностей
Приклад. Знайти область існування функції
.
існує, якщо виконується система нерівностей:
і знаходимо область, де одночасно виконуються обидві нерівності (рис.
1). Коли йдеться про строгу нерівність, то відповідну межу позначаємо
пунктиром. Шукану область заштриховуємо.
Рис. 1.
Приклад. Знайти область існування функції
.
Функція існує, якщо виконується нерівність
Шукану область зображено на рис. 2.
Рис. 2.
Тригонометричні нерівності
Розв’язування будь-якої тригонометричної нерівності зводиться до
розв’язування однієї з наведених далі шести нерівностей.
Рис. 1.
Із рис. 1 знаходимо розв’язок даної нерівності:
. (1)
Приклад. Розв’язати нерівність
дістанемо квадратну нерівність:
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
;
Із рис. 1 знаходимо розв’язок:
. (2)
Приклад. Розв’язати нерівність
, дістанемо квадратну нерівність:
Повернувшись до початкових позначень, розв’яжемо нерівності:
;
Рис. 2.
Із рис. 2 знаходимо розв’язок даної нерівності:
(3)
Приклад. Розв’язати нерівність
розв’яжемо нерівність
Переходячи до початкових позначень, маємо:
Із рис. 2 знаходимо розв’язок даної нерівності:
(4)
Приклад. Розв’язати нерівність
розв’яжемо нерівність
Повертаюсь до початкових позначень, маємо:
Рис. 3.
Із рис. 3 знаходимо розв’язок даної нерівності:
(5)
:
. (6)
Приклад. Розв’язати нерівність
дістанемо
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
Рис. 4.
Із рис. 4 знаходимо розв’язок даної нерівності
(7)
:
. (8)
Приклад. Розв’язати нерівність
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
Приклад. Розв’язати нерівність
дістаємо нерівність:
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
9.10. Алгебраїчні нерівності
Наведемо деякі відомі нерівності, часто використовувані під час
розв’язування різних задач.
1. Нерівність Коші:
(1)
2. Нерівність Гельдера
(2)
(3)
Приклад. Довести нерівність
, то нерівність, очевидно, виконується.
, підносимо обидві частини нерівності до квадрата:
. Нерівність доведено.
виконується нерівність
Оскільки обидві частини нерівності додатні, то підносимо їх до квадрата:
то нерівність доведено.
Приклад. Довести нерівність
.
Помноживши обидві частини нерівності на 2, дістанемо:
Остання нерівність, очевидно, виконується, що й доводить дану
нерівність.
Приклад. Довести, що при будь-яких додатних значеннях а і b виконується
нерівність
Підносимо обидві частини нерівності до квадрата:
У результаті тотожних перетворень дістали правильну нерівність, що й
доводить дану нерівність.
, знайдемо її похідну:
.
випливає:
.
Приклад. Довести нерівність
.
Розкриваючи дужки, дістаємо:
У результаті тотожних перетворень дістаємо нерівність, яка, очевидно,
виконується, що й доводить дану нерівність.
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
х
3
0
1
2
+
+
–
–
–
х
–1
1
(
+
+
(
+
х
+
+
– 3
+
– 2
– 1
2
1
0
3
4
5
х
–5
y
x
1
y
х
4
– 4
2
– 2
1
1
y
x
х
(
(
0
а
y
x
х
а
(
0
(
y
x
x
y
x
x
а
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
