Реферат на тему:
Основи геометрїї. Стереометрія
Основні аксіоми і найпростіші теореми
Стереометрія вивчає властивості тіл і фігур у просторі.
Наведемо ряд аксіом і теорем, що лежать в основі курсу стереометрії.
1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину
площину (аксіома площини).
2. Якщо дві точки належать однієї площини, то і пряма, їх з’єднуюча,
належить цієї площини.
3. Якщо дві різні площини мають загальну точку, то вони мають загальну
пряму — лінію перетинання площин.
На будь-якій площині справедливі аксіоми і теореми планіметрії.
Теорема 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести
єдину площину.
Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються можна провести одну
площину.
Перехресними називаються прямі, що не лежать в одній площині.
Ознака перехресних прямих. Якщо пряма a лежить у площині ?, а пряма b
перетинає цю площину в точці, що не лежить на прямій а, то ці прямі
схрещуються (рис. 49).
Рис. 49
Кутом між двома перехресними прямими називається кут між пересічними
прямими, відповідно рівнобіжними двом даним перехресної прямої.
Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й
іншій прямій перетинає площину.
Теорема 4. Через дві Паралельні прямі можна провести єдину площину.
Відстанню між перехресними прямими називається довжина їхнього
загального перпендикуляра.
Пряма а називається рівнобіжної площини ?, якщо вона не має з цією
площиною загальних точок.
Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма Паралельна деякій
прямій а, що лежить у площині ?, то вона Паралельна площини а (рис. 49).
Паралельними називаються дві площини, що не мають загальних точок.
Теорема 5. Через точку, що не лежить у даній площині, можна провести
єдину площину, рівнобіжну даної.
Теорема 6 (ознака паралельності площин). Якщо дві пересічні прямі однієї
площини відповідно Паралельні двом пересічними прямим іншої площини, то
ці площини Паралельні (рис. 50).
Рис. 50
Теорема 7. Якщо площина перетинає одну їх двох паралельних площин, то
вона перетинає й іншу, причому лінії перетинання Паралельні.
Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут
Пряма а, що лежить у площині ?, поділяє цю площину навпіл на півплощини
і називається границею напівплощин.
Пряма а називається перпендикулярною площини ?, якщо вона
перпендикулярна будь-якій прямій, що належить площині а.
Теорема 1 (ознака перпендикулярності прямій і площині). Пряма а
перпендикулярна площини ?, якщо вона перпендикулярна двом пересічним
прямим, що лежать у площині а (рис. 51).
Рис. 51
Двогранним кутом називається область простору, обмежена двома на
півплощинами, що мають загальну границю, яка називається ребром
двогранного кута (рис. 52). Якщо пряма а1, що лежить у площині ?,
перпендикулярна ребру а і пряма b1, що лежить у площині ?,
перпендикулярна ребру а, то кут між прямими a1 і b1 називається лінійним
кутом двогранного кута.
Рис. 52
Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, що проходить
через ребро двогранного кута і поділяє його на два рівних двогранних
кути (рис. 52).
Властивість точок бісекторної площини. Кожна точка бісекторної площини
рівновіддалена від граней двогранного кута. Зворотна властивість: якщо
точка рівновіддалена від граней двогранного кута, то вона належить його
бісекторній площини.
При перетинанні двох площин утвориться чотири двогранних кути. Якщо
лінійний кут одного з цих двогранних кутів прямий, то ці площини
називаються перпендикулярними.
Теорема 2 (ознака перпендикулярності площин). Якщо пряма а,
перпендикулярна площині ?, належить площині ?, то площини ? і ?
перпендикулярні (рис. 53).
Рис. 53
Перпендикулярною проекцією точки А на площину ? називається підстава
перпендикуляра, опущеного з точки А на площину ?.
Проекцією фігури на площину ? називається множина точок площини ?, що є
проекціями всіх точок проекційної фігури. Проекцією прямої на площину є
також пряма (чи, в окремому випадку, точка). Якщо пряма а перетинає
площину ? в точці А, то проекція прямої також проходить через точку А.
буде Паралельна а.
Властивості, проектування:
1) Якщо прямі а і b Паралельні, те їхні проекції Паралельні або, в
окремих випадках, є однією прямою або ж двома точками.
Рис. 54
Теорема 3 (про три перпендикуляри). Якщо похила l перпендикулярна деякій
прямій р площини ?, то її проекція також перпендикулярна прямій р (рис.
55).
Рис. 55
похилої l перпендикулярна прямій р, то її проекція також
перпендикулярна прямій р.
Нехай висота піраміди ABCD, опущена з вершини D, проходить через точку
перетину висот ? АВС (ортоцентр трикутника). Можна довести, що
протилежні ребра піраміди попарно перпендикулярна і будь-яка інша висота
піраміди також проходить через ортоцентр протилежної грані (рис. 56).
Рис. 56
на площину ? (кут ? на рис. 55).
Можна довести , що якщо всі бічні ребра піраміди ABCD нахилені до
площини основ АВС під рівними кутами, то висота DO проходить через центр
O описаної біля ? АВС кола.
Рис. 57
Багатогранники. Площі поверхонь. Об’єм багатогранників
Призма. Якщо в двох паралельних площинах ? і ? розташовані рівні п-кути,
відповідні сторони яких попарно Паралельні, а відповідні вершини
з’єднані відрізками, те отриманий у такий спосіб багатогранник
називається призмою (рис. 58). Багатокутники, що лежать у площинах а і
р, називаються основами призми. Чотирикутники АВВ1А1, ВВ1С1С і т. д.
називаються бічними гранями призми і вони являються паралелограмами;
відрізки AA1, BB1 і т. д. називаються бічними ребрами призми. Всі бічні
ребра призми рівні і Паралельні. Висотою призми називається відстань між
площинами ? і ?, тобто довжина перпендикуляра, опущеного з будь-якої
точки площини ? на площину ?.
Рис. 58
Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра
перпендикулярного перетину призми на довжину бічного ребра.
Об’єм призми дорівнює добутку площі підстави на висоту призми або площі
перпендикулярного перетину на довжину бічного ребра:
Прямою називається призма, бічне ребро якої перпендикулярно площині
підстави.
Правильною називається пряма призма, у підставі якої лежить правильний
багатокутник.
Окремими випадками призми є прямокутний паралелепіпед — пряма призма, у
підставі якої лежить прямокутник, і куб — правильна призма, в основі
якої лежить квадрат. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку
довжин трьох ребер, що виходять з однієї вершини.
Піраміда. Нехай на площині ? лежить опуклий багатокутник А1A2A3…Аn, а
точка S не належить площини ?. З’єднавши точку S з вершинами
багатокутника, одержимо багатогранник, що називається п-кутовою
пірамідою (рис. 59). Багатокутник А1A2A3…Аn називається основою
піраміди. Висотою піраміди називається відрізок перпендикуляра,
опущеного з вершини S на площину підстави.
Рис. 59
Правильної називається піраміда, у підставі якої лежить правильний
багатокутник, а висота проходить через центр кола, описаної біля
підстави.
Об’єм довільної піраміди
— площа підстави, Н — висота.
Вписані й описані сфери. Сфера називається описаної біля багатогранника,
якщо вона проходить через усі його вершини. Сфера називається вписаної в
багатогранник, якщо вона стосується всіх його граней.
Теорема 1. Для того щоб біля піраміди можна було описати сферу,
необхідно і досить, щоб біля багатокутника, що лежить в основі, можна
було описати окружність.
??.
B
A
U
6
?.
A
gd
gd
lp
`„7gd
gd
h
h
h
h
Z\”–¦a ¶”th#,%d%f%v%d&?(T)?)~**,b,d,t, -O-U-iiaiiiiaaaaiiiaaaaaaiiiaii
`„7gd
gd
h
h
gd
lp
`„7gd
gd
h
qIqoaaaaooIAooooooooooaAo
`„gd
gd
gd
lp
`„7gd
h
h
h
h
h
h
h
9
Центр сфери, описаної біля піраміди, допомагають знайти наступні два
твердження.
1. Множина точок простору, рівновіддалених від двох даних точок А і В, є
площина, що проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна йому.
2. Нехай точка О — центр кола, що описана біля плоского багатокутника
А1A2A3…Аn. Тоді множина точок простору, рівновіддалених від усіх
вершин багатокутника А1A2A3…Аn, є перпендикуляр до площини
багатокутника, що проходить через точку О.
Наслідок. Якщо навколо багатокутника, що лежить у підставі піраміди
SА1A2…Аn, можна описати окружність, центром якої є точка О, те центр
описаної біля піраміди сфери буде знаходитися на перетинанні
перпендикуляра до площини основи, вставленого з точки О, і площини, що
проходить через середину якого-небудь бічного ребра піраміди (наприклад,
A1S), перпендикулярної цьому ребру.
Центр вписаної в многогранник сфери лежить на перетинанні бісекторних
площин усіх двогранних кутів багатогранника.
Теорема 3. У довільну трикутну піраміду можна вписати сферу.
Об”єм багатогранника
де r — радіус вписаної в багатогранник сфери, SП — площа повної поверхні
багатогранника.
Правильним називається багатогранник, усієї грані якого є однаковими
правильними багатокутниками.
Циліндр. Конус.Сфера, куля і його частини
Циліндричною поверхнею називається поверхня (рис. 60), утворена рухом
прямої АВ, рівнобіжної заданому напрямку l і перетинаючею дану плоску
криву MN, яка називається направляючою циліндра. Пряма АВ називається
утворюючою циліндра.
Циліндром називається тіло, обмежене циліндричною поверхнею, що має
замкнуту утворюючу, і двома рівнобіжними площинами. Частини паралельних
площин, що обмежують циліндр, називаються підставами циліндра. Висотою
циліндра називається відстань h = PQ між рівнобіжними площинами (рис.
60).
Рис. 60
Прямим циліндром називається циліндр, що утворить який перпендикулярна
підставам. Циліндр називається круговим, якщо його направляючої є
окружність. Прямою круговою циліндра є фігура обертання, так як вона
може бути отримана у результаті обертання прямокутника навколо однієї зі
своїх сторін. Пряма, що з’єднує центри основ прямого кругового циліндра,
називається віссю циліндра. Вона є його віссю симетрії. Площиною
осьового переріза називається площина, що містить вісь циліндра. Осьовий
переріз прямого кругового циліндра є прямокутник.
Площа бічної поверхні кругового циліндра радіуса r дорівнює добутку
довжини кола, що лежить у його підставі, на висоту циліндра: S = 2?rh.
Об’єм циліндра дорівнює добутку площі підстави на висоту циліндра:
V = 2?r2h.
Конічною поверхнею називається поверхня, утворена рухом прямої АВ, що
проходить увесь час через ту саму точку S (вершину конуса) і
перетинаючею дану плоску криву, що називається направляюча конуса (рис.
61, а). Твірна конуса називається будь-яка пряма, що відповідає деякому
положенню прямої АВ. Конічна поверхня має дві частини: одна описується
променем SA, а інша — його продовженням SB.
Конусом називається тіло, обмежене однією частиною конічної поверхні, що
має замкнуту утворюючу і перетинає її площиною. Частина цієї площини, що
лежить усередині конічної поверхні, називається підставою конуса.
Перпендикуляр SO, опущений з вершини S на площину підстави, називається
висотою конуса. Конус називається круговим, якщо в підставі його лежить
коло. Прямим круговим конусом називається круговий конус, висота h якого
проходить через центр кола (точку О), що лежить у підставі (рис. 61, б).
Рис. 61
Прямий круговий конус є фігура обертання, тому що він може бути
отриманий у результаті обертання прямокутного трикутника навколо одного
зі своїх катетів. Висота SO прямого кругового конуса називається також
віссю конуса, вона є його віссю симетрії. Осьовим перерізом прямого
кругового конуса є рівнобедрений трикутник, утворений при перетинанні
поверхні конуса з площиною, що містить вісь конуса. Кутом при вершині
конуса називається кут при вершині його осьового переріза.
Площа бічної поверхні прямого кругового конуса дорівнює половині добутку
довжини кола підстави на утворюючу конуса:
де r — радіус підстави, а l — утворююча (рис. 61, б).
Об’єм конуса дорівнює одній третині добутку площі підстави на висоту
конуса:
Сферичною поверхнею або просто сферою називається геометричне місце
точок простору, вилучених на однакову відстань R від однієї точки,
названої центром сфери. Тіло, обмежене сферичною поверхнею, називається
кулею. Сфера є поверхню обертання. Вона виходить при обертанні кола
навколо будь-якого свого діаметра. Великим колом називається перетин
кулі площиною, що містить центр кулі.
Площа поверхні кулі дорівнює учетвертинній площі великого кругу:
Об”єм кулі
Куля називається вписаною в циліндр, якщо вона стосується його бічної
поверхні і площин основ. Куля можна вписати в прямий круговий циліндр
так, щоб він мав загальну точку з будь-яким його утворювачем, тільки
тоді, коли осьовий переріз циліндра є квадрат. Куля називається вписаним
в конус, якщо він стосується бічної поверхні конуса і площини його
підстави. В будь-який прямий круговий конус можна вписати кулю таким
чином, що вона буде мати загальну точку з всіма утворюючими. Центр цієї
кулі лежить на осі конуса.
Кульовим сегментом називається частина кулі, що відтинається від нього
якою-небудь площиною ?. Основою кульового сегмента називається коло, яке
є перетином кулі площини ?. Висотою h кульового сегмента називається
довжина відрізка МО1, перпендикулярного площині ? яка проходить через
центр О1 перетини (рис. 62).
Рис. 62
Площа кривої поверхні кульового сегмента дорівнює добутку його висоти на
довжину кола великого кола:
S = 2?Rh,
де R — радіус кулі.
Об”єм кульового сегмента
Частина кулі, укладена між двома січними рівнобіжними площинами,
називається кульовим шаром. Кульовим поясом або зоною називається крива
поверхня кульового шару. Відстань між рівнобіжними площинами, що
називаються основами шару, має назву висоти кульового шару (рис. 63).
Рис. 63
Площа кривої поверхні кульового шару дорівнює добутку його висоти h =
= О1О2 на довжину кола великого кола:
S = 2?Rh.
Об’єм кульового шару виражається формулою
де r1 і r2 — радіуси основ шаруючи; h — його висота.
Кульовим сектором називається частина кулі, обмежена поверхнею кульового
сегмента і конічною поверхнею, направляючею яка служить окружність
підстави сегмента, а вершиною — центр кулі (див. рис. 62).
Об”єм кульового сектора дорівнює
де R — радіус кулі; h — висота відповідного кульового сегмента.
ЛІТЕРАТУРА
Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з
математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344
с.
Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.
Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб.
рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.
Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.
Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.:
Школа-Пресс, 1995. — 144 с.
Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.
Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами:
Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.
Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений
вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. —
495 с.
Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд.
дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с.
Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов /
Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ,
1998. — 430 с.
Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред.
А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
