Реферат на тему:
Показникова функція. Формули Ейлера. Гіперболічні функції. Логарифмічна
функція. Обернені тригонометричні функції
називається числом Ейлера. Значення показникової функції еz можна
знайти з розкладу її у степеневий ряд:
. (1)
велике, то можна використовувати формулу
, (2)
з якої знаходимо рівність
,
.
можна знайти за формулою:
. (3)
з (3) випливає формула Ейлера:
. (4)
Значення показникової функції при довільному комплексному значенні
аргументу знаходять за формулою
. (5)
Приклад. Обчислити е2 + 3і.
e2 + 3i = e2 e3i = e2(cos 3 + i sin 3) =
= – 7,315110095 + + i1,042743656. (
, дістаємо таку формулу:
. (6)
Додаючи і віднімаючи почленно формули (4), (6), знаходимо інші формули
Ейлера:
. (12)
Ці формули можна використовувати для виведення різних тригонометричних
формул.
Приклад. З формул (7) дістаємо:
,
,
.
Аналогічно знаходимо:
,
,
.
Гіперболічні функції
У розрахунках часто застосовуються гіперболічні функції:
— гіперболічний косинус,
— гіперболічний синус,
— гіперболічний тангенс,
— гіперболічний котангенс.
Графіки гіперболічних функцій наведено на рис. 1 і 2.
Рис. 1
Рис. 2
Гіперболічний функції тісно пов’язані з тригонометричними функціями:
,
. (1)
Із цих формул дістаємо аналогічні залежності:
,
. (2)
Оскільки гіперболічні функції подаються через тригонометричні функції
від суто уявного аргументу, то для гіперболічних функцій справджуються
формули, аналогічні формулам для тригонометричних функцій.
У формулах для тригонометричних функцій
, тоді дістанемо аналогічні формули для гіперболічних функцій:
.
За допомогою гіперболічних функцій можна знаходити значення
тригонометричних функцій від комплексних аргументів:
.
Аналогічні формули виконуються для гіперболічних функцій від
комплексного аргументу:
Логарифмічна функція
визначається з рівності
.
Узявши
,
з рівності
:
.
Остаточно дістанемо аналітичні вирази для логарифмічної функції:
. (1)
дійсні.
.
.
. (
Логарифми від’ємних чисел існують і набувають нескінченної множини
комплексних значень.
.
;
. (
, то для відшукання логарифмів можна використовувати розклад у
степеневий ряд:
.
:
(2)
за формулою:
. (3)
.
.
маємо:
.
.
Знаходимо значення від’ємного числа в ірраціональному степені:
¤ ¤gd8}?
„
†
¦
?
?
¬
I
I
i
?
o
o
jlnp°?OOOeO
.
0
2
4
b
d
„
†
?
?
?
E
??
?Ue?
&
F
E
I
i
i
?
o
p-?-Ae-i-?-?aI?a»???°?°°°?°°°¤
j
“¤$¦$u$ЛІТЕРАТУРА Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с. Саушкін О. Ф. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО «Изд. дом “ОНИКС 21 век”», 2003. — 672 с. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с. y = sh x 1 y = sh x x y y = th x 1 y = сth x x y y = сth x
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter