UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75834
останнє поновлення: 2016-11-29
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЕлементи теорії матриць (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1679
Скачало305
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Елементи теорії матриць

 

Основні поняття

 

Розглянемо ще один математичний об’єкт, пов’язаний із системою рівнянь

(1.1).

 

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m

рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то

коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку

прямокутну таблицю:

 

.

 

означає, що в ній п’ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків

матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається

квадратною.

 

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх

відповідні елементи рівні між собою.

 

, то матриця називається симетричною.

 

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють

одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:

 

.

 

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної

діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

 

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник,

який складається з тих самих елементів.

 

.

 

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається

неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця

особлива, або вироджена.

 

Дії з матрицями

 

, будь-який

 

елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць

 

, тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю

 

.

 

.

 

.

 

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються

рівності:

 

.

 

, кожний елемент можна знайти за формулою:

 

.

 

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних

елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи

 

j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

 

 

.

 

.

 

Повернемось до системи рівнянь (1.1) і утворимо матриці: А —

коефіцієнтів при невідомих, Х — невідомих, В — вільних членів:

 

.

 

Тоді згідно з означенням добутку матриць систему рівнянь (1.1) можна

записати в матричному вигляді:

 

, (1.5)

 

який значно скорочує запис системи рівнянь.

 

Обернена матриця

 

.

 

, існує обернена матриця А–1. Розглянемо матрицю:

 

.

 

 

За правилом множення матриць елементи матриці С знаходимо за формулою:

 

. (1.6)

 

 

?

 

?J

 

Ш

 

Ъ

 

???????????????

 

??

 

?

 

.

 

.

 

Отже, обернена матриця має вигляд:

 

.

 

Доведемо, що для матриці А матриця А–1 єдина. Для цього припустимо

протилежне. Нехай існує одна матриця С, така що АС = СА = Е. Тоді

 

САА–1 = С(АА–1) = СЕ = С,

 

а водночас

 

САА–1 = (СА)А–1 = ЕА–1 = А–1, звідси С = А–1.

 

Доходимо висновку, що початкове припущення неправильне, тобто обернена

матриця єдина.

 

 — матриця невироджена. Тоді для матриці А побудуємо обернену А–1 —

вона за тих припущень, які щойно зроблено, існує. Помноживши тепер

матричну рівність АХ = В зліва на матрицю А–1, дістанемо:

 

,

 

.

 

Останній вираз — це розв’язок системи лінійних рівнянь. Зауважимо, що в

такому вигляді можна записати розв’язок будь-якого матричного рівняння,

якщо матриця А задовольняє умови існування А–1.

 

Ранг матриці

 

 

 

і введемо ще одне важливе поняття.

 

, а най-

 

більший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ