UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75834
останнє поновлення: 2016-11-29
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗагальна теорія систем лінійних рівнянь (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2647
Скачало389
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Загальна теорія систем лінійних рівнянь

 

Теорема Кронекера—Капеллі

 

, утворену приєднанням до матриці А стовпця вільних членів:

 

.

 

:

 

 

З теореми випливає, що в матриці, складеної з коефіцієнтів при

невідомих, неодмінно існує мінор r-го порядку, відмінний від нуля,

оскільки ранг цієї матриці дорівнює r.

 

Нехай, наприклад, це мінор, який складено з коефіцієнтів при перших r

невідомих. Залишимо доданки з цими невідомими в лівій частині рівняння,

а решту доданків перенесемо у праву частину. Усі рівняння системи (1.1)

після r-го відкинемо. Тоді система рівнянь набере вигляду:

 

(1.8)

 

Невідомі змінні x1, x2, ..., xr називаються головними невідомими

(змінними), а хr+1, xr+2, ..., xn — вільними невідомими (змінними).

 

Головний визначник системи рівнянь (1.8) (мінор r-го порядку) відмінний

від нуля. За правилом Крамера така система рівнянь має єдиний розв’язок

відносно головних невідомих x1, x2, ..., xr.. Зрозуміло, що кожне з

головних невідомих можна подати через вільні невідомі. Якщо вільним

невідомим не надано конкретних числових значень, маємо так званий

загальний розв’язок системи рівнянь (1.1). Надавши вільним невідомим

деяких числових значень, дістанемо частинний розв’язок цієї системи.

Зрозуміло, що частинних розв’язків системи в цьому разі безліч. Така

система є сумісною, але невизначеною.

 

1.3.2. Системи лінійних однорідних рівнянь

 

Застосуємо здобуті результати для аналізу розв’язків однорідної системи

рівнянь

 

(1.9)

 

завжди існує. Розглянемо матрицю А, складену з коефіцієнтів при

невідомих. Нехай її ранг дорівнює r. Якщо r = n, то система (1.9) має

єдиний розв’язок, і він тривіальний. Якщо r < n, то система (1.9) має

також розв’язки, відмінні від тривіальних.

 

 

Нехай ранг матриці системи рівнянь (1.9) r < n. Це означає, що матриця А

має мінор r-го порядку, відмінний від нуля. Відповідно до загальної

теорії систему рівнянь (1.9) можна переписати у вигляді:

 

(1.10)

 

Розглянемо визначник:

 

.

 

, i = 1, 2,..., n – r. Така система розв’язків однорідної системи

рівнянь (1.9) називається фундаментальною системою розв’язків.

 

Зауважимо, що будь-який розв’язок системи рівнянь (1.9) можна подати у

вигляді лінійної комбінації фундаментальної системи розв’язків.

 

Метод Жордана—Гаусса розв’язування

 

систем лінійних рівнянь

 

Цей метод пов’язаний із виключенням невідомих із системи рівнянь.

Розглянемо систему:

 

(1.11)

 

. Назвемо цей коефіцієнт розв’язувальним елементом. Поділивши почленно

все i-те рівняння на aij, дістанемо:

 

(1.12)

 

Тепер помножимо рівняння (1.12) на –a1j і додамо до першого рівняння

системи (1.11), далі помножимо на –а2j і додамо до другого рівняння

системи і т. д. Після того як помножимо (1.12) на

 

–amj і додамо до останнього рівняння системи, дістанемо:

 

(1.13)

 

.

 

Тоді система (1.13) набере вигляду:

 

(1.14)

 

Перехід від системи рівнянь (1.11) до системи рівнянь (1.14) називається

кроком перетворення методу Жордана—Гаусса.

 

Розглянемо вираз для коефіцієнта bkl системи рівнянь (1.14) докладніше:

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ