UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
Назваn-вимірний векторний простір (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4613
Скачало422
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

n-вимірний векторний простір

 

Основні поняття

 

Означення. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких

визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний

векторний простір Vn.

 

, то у просторі Vn можна виконувати такі дії.

 

Додавання двох векторів за правилом:

 

.

 

за правилом:

 

.

 

. З означень дій додавання і множення вектора на число випливають

властивості:

 

 

.

 

хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

 

. (1.16)

 

називається лінійно незалежною.

 

Постає запитання: а чи існують взагалі системи лінійно незалежних

векторів? Розглянемо систему векторів в n-вимірному просторі Vn:

 

 

.

 

Згодом побачимо, що у просторі Vn існує безліч лінійно незалежних систем

векторів.

 

Сформулюємо таке важливе твердження.

 

Будь-яка система векторів, що складається з більшої кількості векторів,

ніж розмірність простору Vn, буде лінійно залежною.

 

вона стає лінійно залежною.

 

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна

лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде

максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система

векторів у цьому просторі складається з n векторів.

 

Означення. Базисом векторного простору Vn називається будь-яка

максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору.

Так, систему векторів:

 

 

можна розглядати як базис простору V3.

 

Розглянемо дві системи векторів:

 

, (1.17)

 

. (1.18)

 

.

 

Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них

виражається лінійно через іншу.

 

Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно

незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї

системи.

 

, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на

максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї

матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно

незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

 

Зв’язок між базисами

 

Простір Vn має базис:

 

. (1.19)

 

, то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.19)

випливає, що

 

, (1.20)

 

де хоча б одне з (і відмінне від нуля.

 

.

 

Нехай у просторі Vn задано два базиси:

 

(1.21)

 

. (1.22)

 

Кожен вектор нового базису (1.22) однозначно можна аналогічно (1.20)

подати через базис (1.21) у вигляді

 

(1.23)

 

.

 

базисів, то рівність (1.23) можна записати в матричному вигляді:

 

. (1.24)

 

— матриця переходу від базису (1.22) до базису (1.21), маємо рівність:

 

. (1.25)

 

Скориставшись (1.24) і (1.25), запишемо:

 

.

 

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до

іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у Vn дорівнює

кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці

переходу від одного до іншого взаємно обернені.

 

у цих двох базисах подається формулою:

 

. (1.26)

 

, дістанемо:

 

, (1.27)

 

.

 

Лінійні перетворення

 

— деякі елементи цього простору.

 

, називається лінійним, якщо виконуються властивості:

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ