Реферат на тему:
Елементи векторної алгебри
Системи координат
Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок
точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову
систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо
систему координат на площині.
Рис. 2.1
Рис. 2.2
Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел
(x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто
встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і
впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість
використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як
лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для
розв’язування геометричних задач.
Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка
називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається
полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання
довжин відрізків.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Полярними координатами точки М називаються числа ( — відстань від полюса
О до точки М і ( — кут, на який треба по-
вернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.
.
Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 2.4)
встановлюють формули:
(2.1)
Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).
Розглянемо такі перетворення систем координат:
1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи
координат, а напрям осей залишається таким самим;
2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно
початку системи координат.
Рис. 2.5
Рис. 2.6
. Знайдемо зв’язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що
, (2.2)
.
2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точки О на кут (
і дістанемо нову систему Ох(y( (рис. 2.6).
Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і
полярними осями Ох і Ох(. Тоді згідно з рис. 2.6 маємо
.
Крім того, ( = ( + (, підставляючи це значення ( у формули, остаточно
будемо мати:
(2.3)
дістаємо:
= – х sin( + y cos(.
координатами точки.
Вектори, лінійні операції над векторами
.
Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим
вектором.
і напрям щодо деякої осі.
називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на
паралельних прямих.
вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені;
3) їхні довжини рівні.
З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо
новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній
геометрії називають вільними.
.
Рис. 2.7
протилежний напряму l.
. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:
,
— кут між вектором і віссю.
на кожну з осей мають вигляд:
Ох: ах = х2 – х1, Оу: ау = у2 – у1, Оz: аz = z2 – z1.
Довжина вектора подається формулою:
(2.4)
і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за
формулами:
. (2.5)
. Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4),
дістанемо:
cos2( + cos2( + cos2( = 1.
Дії з векторами виконуються за правилами:
1. Додавання:
= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).
2. Множення вектора на число ( ( R:
.
Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:
.
.
.
.
.
Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх
проекцій на цю вісь:
Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також
множиться на це число:
такі, що за напрямом збігаються відпо-
. Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи
координат. Тоді
(2.6)
Скалярний, векторний
і змішаний добуток векторів
–
”
&
V
f
h
”
¤
¦
¬
TH
i
?
|~?„†????1/4Ue?-
F
%F
H
J
L
N
a
a
ae
e
e
i
N
„O
„O
називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів
на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то
кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток
дорівнює нулю.
Отже:
,
де ( — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна
також записати:
.
Властивості скалярного добутку:
.
і навпаки,
.
маємо:
(2.7)
З рівності (2.7) випливає, що:
є ах bх + ау bу + аz bz = 0.
можна знайти за формулою:
.
, якщо:
, де ( — кут між двома век-
торами;
відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Рис. 2.8
Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі
паралело-
грама, побудованого на векторах як на сто-
ронах.
Властивості векторного добутку:
— колінеарні вектори.
.
.
.
. З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної
системи координат, маємо:
.
(2.8)
або
.
.
Рис. 2.9
, вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні,
паралелепіпед (рис. 2.9).
. Отже, остаточно маємо:
. (2.9)
.
.
Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного
добутків, маємо:
або
.
Властивості мішаного добутку:
.
.
Найпростіші задачі аналітичної геометрії
1. Відстань між двома точками.
Рис. 2.10
Нехай задано дві точки М1 (х1, у1) і
М2 (х2, у2) (рис. 2.10).
.
Трикутник М1М2K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:
(2.10)
2. Поділ відрізка у заданому відношенні.
Рис. 2.11
Число ( — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2
(рис. 2.11), якщо
.
, треба знайти координати точки М (х, у).
З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні
прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:
.
.
Звідси:
. (2.11)
Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати
у
. (2.12)
Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М1 М2, то
( = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:
.
3. Площа трикутника.
Рис. 2.12
Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х1, у1), В (х2,
у2), С (х3, у3) (рис. 2.12).
Знайдемо площу цього трикут-
. У правій частині формули стоять площі відповідних трапецій, які
подаються формулами:
;
.
Підставивши знайдені площі у вираз для площі трикутника, дістанемо:
Записавши останній вираз у вигляді визначника, дістанемо остаточну
формулу:
(2.13)
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
B
y
x
M (x, y, z)
О
1
1
1
.
.
.
.
.
А
zC
y
x
M (x, y)
О
1
1
.
.
.
А
M
(
(
О
О
(
(
у
х
М
у
х
(
(
(
a
?
b
?
c
?
?
?
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter