Реферат на тему:
Границя числової послідовності
Поняття числової послідовності та її границі
називаються членами послідовності. Послідовність вважається заданою,
якщо задано n-й член послідовності.
знайти формулу n-го члена.
.
.
.
Для стислого запису означення границі використаємо квантори: ( — для
будь-якого, будь-який; ( — існує, знайдеться;
: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі
послідовності за допомогою цих символів запишеться так:
(рис. 3.12).
Рис. 3.12
, усі члени послідовності перебувають в (-околі точки а (див. рис.
3.12).
Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю
(скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.
.
. Розв’яжемо останню нерівність відносно n:
виконується.
Загальні властивості
збіжних послідовностей
Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має
границю, то вона єдина.
Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність
збіжна, то вона обмежена.
.
будуть менші за 2.
3.2.3. Нескінченно мала величина та її властивості
.
.
Теорема 1. Сума двох н.м.в. є н. м. в.
Наслідок. Алгебраїчна сума скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.
Теорема 2. Добуток обмеженої величини на н.м.в. є н.м.в.
.
.
Теорема 3. Добуток двох н.м.в. є н.м.в.
Наслідок. Добуток скінченної кількості н.м.в. є н.м.в.
була н.м.в.
— н.м.в.
Нескінченно велика величина. Зв’язок між нескінченно великою
і нескінченно малою величинами
.
Наприклад:
Аналітичною мовою означення н.в.в. виглядає так:
ae
??
(
8
:
T
?
?
?
¶
ae
o
??
— величина необмежена, але н.в.в. не буде. Справді, не всі члени цієї
послідовності, починаючи з деякого номера, будуть як завгодно великими.
Теорема. Зв’язок між н.в.в. і н.м.в.
буде н.в.в., і навпаки.
— н.м.в.
Граничний перехід
при арифметичних операціях
, то:
За допомогою теореми можна виконувати граничний перехід при арифметичних
операціях з послідовностями, але тільки в тих випадках, коли
послідовності збіжні.
.
На практиці такі докладні записи граничного переходу виконують рідко; як
правило, граничний перехід при арифметичних операціях виконується усно.
Якщо умови теореми порушуються, то вираз під знаком границі спочатку
перетворюють таким чином, щоб арифметичні дії виконувалися зі збіжними
послідовностями, а потім виконують граничний перехід.
Теореми, які полегшують
знаходження границь послідовностей
Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).
.
Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої
послідовності:
1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона
збіжна;
2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.
.
Розглянемо
Приклад.
3.2.7. Число е
.
Взагалі, число е, як і число ( = 3,14 …, широко застосовується в
різних задачах, у тому числі й у задачах з економічним змістом.
Задача. Суму а грн покладено в банк при р % річних. Як збільшиться ця
сума за один рік, якщо вклад безперервно забирати і знову класти в банк?
.
року буде
сума буде така:
,
.
річних S = 102 грн 2 коп. (а не 102 грн, якщо вклад не знімати цілий
рік).
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
.
(
(
(
(
(
(
(
)
x1
x3
x2
xN
xN+2
xN+1
0
a
a – (
a + (
x
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
