UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДослідження функції двох змінних (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4748
Скачало687
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Дослідження функції двох змінних

 

Екстремум функції двох змінних

 

.

 

Точки максимуму й мінімуму називаються точками екстремуму.

 

або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

 

. Якщо:

 

;

 

;

 

немає екстремуму.

 

, тоді потрібні додаткові дослідження.

 

на екстремум

 

.

 

.

 

.

 

4. Обчислити значення частинних похідних другого порядку в стаціонарних

точках.

 

і зробити висновки на базі теореми 5.21.

 

.

 

.

 

. Таким чином, у точці (1; 2) функція може мати екстремум.

 

.

 

.

 

Приклад. Дослідити на екстремум функцію двох змінних:

 

.

 

:

 

.

 

.

 

Отже, (0; 0) — стаціонарна точка.

 

:

 

.

 

4. У точці (0; 0)

 

.

 

.

 

5. Точка (0;0) — мінімум, хоча це ясно і безпосередньо.

 

Алгоритм знаходження екстремумів за допомогою матриці Гессе

 

.

 

 

.

 

ІІ. Складаємо матрицю Гессе

 

 

.

 

Можливі два випадки:

 

. Цей випадок потребує розглядання частинних похідних порядка більше 2.

Ми його розглядати не будемо.

 

.

 

.

 

 

— еліптична;

 

 

— еліптична

 

— гіперболічна

 

— від’єм. визн.

 

В. Сідлова

 

— невизначена

 

 

 

Приклади. Знайти екстремуми заданих функцій:

 

 

 

 

 

 

? Н — невизначена. Отже, точка (0; 0) — сідлова точка.

 

.

 

 

 

 

 

 

? Н — додатно визначена.

 

— точка мінімуму.

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

.

 

Зауваження. Ми навели певні аналітичні ознаки для знаходження

екстремумів. Існують і більш строгі ознаки. Але в деяких випадках

встановити, чи має функція мінімум або максимум, можна за умовою задачі.

 

Приклад. Показати, що прямокутний паралелепіпед з найбільшою бічною

поверхнею є куб.

 

— ребра паралелепіпеда.

 

— бічна поверхня паралелепіпеда, то

 

.

 

дві незалежні, нехай це будуть х і y, тоді

 

.

 

,

 

,

 

.

 

Значення х = 0, y = 0, очевидно, не можуть дати максимуму. Отже,

 

.

 

Розв’язавши ці рівняння разом із рівнянням

 

 

.

 

Ці рівняння мають єдиний розв’язок, і ним визначається максимум.

 

Приклад. На площині

 

 

знайти точку, найменш віддалену від початку координат.

 

на заданій площині від початку координат є

 

 

Коли ця відстань досягає мінімуму, то

 

 

тобто

 

 

Із рівняння площини маємо:

 

 

і підставимо в попереднє рівняння. Дістанемо

 

 

мають дорівнювати 0:

 

.

 

дає шуканий мінімум.

 

Знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної функції на

замкненій обмеженій множині

 

.

 

(рис. 5.20).

 

 

Рис. 5.20

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

ћ

 

$

 

(

 

*

 

D

 

H

 

X

 

l

 

n

 

 

 

љ

 

м

 

j

 

°

 

І

 

ґ

 

К

 

М

 

j

 

j

 

j

 

j

 

.

 

.

 

.

 

Умовний екстремум для функції двох змінних

 

— множина точок, що задовольняють рівняння

 

(5.6)

 

.

 

при обмеженнях (5.6).

 

Аналогічно вводяться поняття нестрогого умовного екстремуму.

 

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного

екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

 

Прямий метод знаходження точок

 

умовного екстремуму (метод виключення)

 

 

Рис. 5.21

 

:

 

.

 

.

 

:

 

.

 

,

 

.

 

Таким чином, задана функція має умовний екстремум у точці (3; 3).

 

Метод Лагранжа знаходження точок

 

умовного екстремуму

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ