UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваКомплексні числа (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4228
Скачало404
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Комплексні числа

 

Поняття комплексних чисел

 

, де a, b — дійсні числа, і2 = – 1. Число а називається дійсною

частиною, bi — уявною частиною, і — уявною одиницею. Множина комплексних

чисел позначається С.

 

.

 

Означення. Два комплексних числа a + bi і a1 + b1i вважаються рівними в

тому і тільки в тому випадку, якщо a = a1 і b = b1.

 

Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них

вважати більшим.

 

6.1.2. Дії з комплексними числами

 

Додавання: (a + bi) + (a1 + b1і) = (a + a1) + (b + b1)i.

 

Віднімання: (a + bi) – (a1 + b1i) = (a – a1) + (b – b1)i.

 

Множення: (a + bi)(a1 + b1i) = aa1 + a1bi + ab1i + bb1i2 = (aa1 –

 

– bb1) + (a1b + ab1)i.

 

Ділення:

 

 

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до

степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і2 треба вважати таким, що

дорівнює – 1.

 

і0 = 1 і5 = і4 ( і = і

 

і1 = і і6 = і5 ( і = – 1

 

і2 = – 1 і7 = і6 ( і = – 1 ( і = – і

 

і3 = і2 ( і = – і і8 = і7 ( і = – і ( і = 1

 

і4 = і3 ( і = – і ( і = 1 і т. п.

 

Отже, дістали чотири значення, що чергуються:

 

і; – 1; – і; + 1, тоді:

 

(а + ib)2 = a2 + 2abi + b2i2 = (a2 – b2) + 2abi,

 

(а + ib)3 = a3 + 3a2b + 3a(ib)2 + (ib)3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3)i і

т. п.

 

 

Тоді a + bi = (x2 – y2) + 2xyi.

 

Отже, маємо:

 

 

.

 

З рівняння 2ху = b випливає, що знаки х та у мають бути однакові, якщо b

> 0, і різні, якщо b < 0.

 

при b > 0;

 

при b < 0.

 

Зауваження. Для того щоб з комплексного числа можна було добути корінь

третього, або вищого степеня, йому треба надати іншого вигляду.

 

Приклад. Нехай z1 = 5 + i6; z2 = 7 – i9; z3 = 5 + 12i.

 

.

 

( z1 + z2 = (5 + 6і) + (7 – 9і) = (5 + 7) + і(6 – 9) = 12 – 3і;

 

z1 ( z2 = (5 + 6і) ( (7 – 9і) = 5 ( 7 + 6і ( 7 – 5 ( 9і – і6 ( і9 =

 

= 35 + 42і – 45і + 54 = 89 – 3і;

 

 

z12 = (5 + i6)2 = 25 + 2 ( 5 ( 6i + (i6)2 = 25 + 60i – 36 = – 11 + 60i;

 

 

.

 

Геометричне зображення комплексного

 

числа (інтерпретація Гаусса)

 

Будь-яке комплексне число a + bi можна зобразити геометрично.

 

Візьмемо в площині прямокутну систему координат і, вибравши одиницю

довжини, зображатимемо дійсні числа на осі абсцис, а уявні — на осі

ординат. Відповідно до цього вісь абсцис називається дійсною віссю, а

вісь ординат — уявною.

 

Число a + bi зображатимемо точкою площини, абсциса якої чисельно

дорівнює а, а ордината дорівнює b (рис. 6.1).

 

 

Рис. 6.1

 

Тригонометрична форма комплексного числа

 

Зображення комплексних чисел за допомогою точок на площині дає змогу

подати число a + bi в іншому вигляді, а саме — у тригонометричній формі.

 

Нехай точка М (рис. 6.2) зображає комплексне число a + ib.

 

Тоді ОА = а, АМ = b. Позначимо віддаль ОМ точки від початку координат

через r, а кут АОМ, утворюваний ОМ з віссю х, — через (. Тоді з

трикутника АОМ матимемо:

 

a = r cos (, b = r sin (.(6.1)

 

Підставивши в комплексне число a + bi значення a і b (6.1), дістанемо

 

a + bi = r cos ( + r sin ( ( i (6.2)

 

або

 

a + bi = r (cos ( + i sin ().

 

Це є тригонометрична форма комплексного числа. Довжина OM = r

називається модулем комплексного числа, а кут АОМ = ( — його аргументом.

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ