UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЕлементи теорії функцій комплексного змінного (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4890
Скачало477
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Елементи теорії функцій комплексного змінного

 

Основні поняття

 

Означення. Нехай D — деяка множина із C. Якщо кожному z ( D поставлено у

відповідність одне значення f(z) ( C, то кажуть, що на множині D задана

однозначна функція f(z). Якщо кожному z ( D поставлена у відповідність

деяка множина f(z) ( C то кажуть що на множині D задана багатозначна

функція f(z). Множина D називається областю визначення функції f(z), а

множиною значень ( = f(z) — множиною значень цієї функції.

 

Задання функції комплексного змінного ( = f(z), z ( D ( C

 

рівнозначне заданню пари дійсних функцій двох дійсних змінних

 

u = u(x; y) і v = v(x; y) (x; y) ( D:

 

.

 

Функція u(x; y) називається дійсною частиною функції f(z), а v(x, y) —

її уявною частиною. При цьому пишуть u = Ref, v =Imf. Якщо f —

однозначна функція, то функції u і v також однозначні.

 

Геометрично функція ( = f(z), z ( D відображає область визначення D на

множину її значень. Множину f(z) називають образом точки z при

відображеній f, а точку z ( D — прообразом точки (, якщо ( = f(z).

 

Однозначна функція f : D ( C називається однолистою, якщо для різних

точок z1 і z2 із D відповідні значення функції f також різні, тобто

f(z1) ( f(z2).

 

Нехай Е — множина значень функції ( = f(z), z ( D. Тоді на Е

визначається функція z = f – 1((), (( ( E, що називається оберненою

функцією до f(z) і зіставляє з кожною точкою ( ( E ті точки z ( D, для

яких f(z) = (. Таким чином, кожна комплексна функція має обернену і

тільки в однолистої обернена функція є однозначною.

 

Розглянемо дві однозначні функції комплексного змінного ( = f(z),

z ( D1, z = g((), (( D2. Припустимо, що D1 містить множину значень g(().

Тоді, зіставляючи кожне (( D2 з числом ( = f(g(()), одержимо на D2

функцію, яка називається складною.

 

Для однозначних функцій визначаються сума, різниця, добуток і частка

двох таких функцій.

 

Границя та неперервність

 

Зауваження. Поняття границі, неперервності і диференційовності вводяться

тільки для однозначних функцій.

 

Нехай функція f(z) визначена на деякій множині D.

 

.

 

.

 

.

 

неперервна в точці z0 = x0 + iy0, тоді і тільки тоді, коли функції

u = u(x, y) і v = v(x, y) неперервні в точці (х0, у0). Звідси випливає,

що властивості границь функцій та неперервних функцій двох дійсних

змінних переносяться на випадок функцій комплексного змінного.

 

Диференціювання функції

 

До теперішнього моменту теорія функцій комплексного змінного будувалася

в повній аналогії з теорією функції дійсного змінного. Але поняття

диференційовності функції комплексного змінного приводить до істотних

відмінностей.

 

Нехай функція f(z) визначена в деякому околі точки z0 ( C.

 

, якщо вона існує, називається похідною функції f(z) у точці z0, і

позначається f((z0) (або d f(z0) / dz).

 

Функція f(z), що має похідну в точці z0, називається диференційовною в

цій точці, вираз f((z0) ( z — її диференціалом у точці z0 і позначається

d f(z0). Припустимо, що ( z = dz, тобто d f(z0) = f((z0) dz. Функція, що

диференційовна в кожній точці відкритої множини D, називається

-----> Page:

0 [1] [2] [3] [4]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ