Реферат на тему:
Узагальнення поняття інтеграла
Невласні інтеграли
із нескінченним проміжком інтегрування
існує.
.
Якщо ця границя існує та скінченна, то невласний інтеграл називається
збіжним, а якщо не існує (зокрема нескінченна), то — розбіжним.
формули для обчислення невласних інтегралів на нескінченному проміжку
мають вигляд:
(7.27)
(7.28)
(7.29)
Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл Діріхле
. (7.30)
Для розв’язування задачі розглянемо такі три випадки:
інтеграл розбіжний.
, інтеграл розбіжний.
, інтеграл збіжний.
.
Крім безпосереднього обчислення невласних інтегралів при дослідженні їх
на збіжність існують і інші методи.
Одним із таких методів можна встановити збіжність інтеграла Пуассона
(рис. 7.22)
, (7.31)
Рис. 7.22
не виражається через елементарні функції.
У деяких випадках достатньо встановити лише збіжність чи розбіжність
розглядуваного інтеграла, при цьому можна скористатися методом
порівняння, що базується на такій теоремі:
.
Звичайно, для порівняння вибирається інтеграл, збіжність якого відома,
наприклад інтеграл Діріхле.
.
.
.
Обчислення невласних інтегралів
від розривних (необмежених) функцій
та при х = а має розрив 2-го роду.
.
Якщо ця границя існує, то інтеграл називається збіжним, а якщо не існує,
то — розбіжним.
Для обчислення таких невласних інтегралів використовують такі формули:
,
. (7.32)
,
(7.33)
,
(7.34)
не можна застосувати формулу Ньютона—Лейбніца.
.
.
— невласний.
інтеграл розбіжний.
Поняття подвійного інтеграла
Задача про обчислення об’єму циліндричного тіла (бруса).
(рис. 7.23).
Рис. 7.23 Рис. 7.24
.
Тоді об’єм циліндричного тіла можна знайти у вигляді такої границі:
, (7.35)
.
по області D і позначається так:
(7.36)
Отже, подвійний інтеграл є прямим узагальненням понят-
тя звичайного визначеного інтеграла на випадок функції двох змінних.
у відповідній області D.
Властивості подвійного інтеграла
Обчислення подвійного інтеграла
зведенням до повторного інтеграла
знову звернемось до задачі 7.2.9 обчислення об’єму тіла (рис. 7.17).
Скористаємось формулою (7.24) для визначення об’єму циліндричного тіла,
а отже, обчислимо відповідний подвійний інтеграл.
1. Випадок прямокутної області інтегрування.
Нехай
(7.37)
Переріжемо циліндричне тіло площиною, перпендикулярною до осі Ох.
(рис. 7.24). Ця площа дорівнює такому визначеному інтегралу:
(7.38)
Тоді за формулою (7.24) об’єм циліндричного тіла дорівнює такому
повторному інтегралу:
(7.39)
Отже, об’єм циліндричного тіла можна обчислити за формулами (7.35),
(7.39):
(7.40)
Зауваження. Для прямокутної області інтегрування порядок інтегрування
можна міняти місцями, тобто
2. Випадок довільної області інтегрування.
Рис. 7.25
Означення. Область D називається правильною щодо деякої осі, якщо
будь-яка пряма, паралельна цій осі, перетинає межу області не більш ніж
у двох точках.
.
.
, а об’єм циліндричного тіла за формулою (7.24) запишеться так:
(7.41)
Зауваження. Щоб поміняти порядок інтегрування у випадку довільної
області D, треба за межами інтегрування відновити (аналітично та
геометрично) область D і розв’язати задачу зведення подвійного інтеграла
до повторного спочатку (змінюючи порядок інтегрування).
Рис. 7.26 Рис. 7.27
,
.
( Область D правильна щодо осі Оy (рис. 7.27), тому:
Ця сама область D (рис. 7.27) неправильна щодо осі Ох, тому якщо змінити
порядок інтегрування, то розглядуваний інтеграл можна звести до таких
повторних інтегралів:
Заміна змінних інтегрування
в подвійному інтегралі
, які відомі.
.
.
у декартовій системі координат можна знайти як модуль векторного
добутку векторів:
.
, а елементарна площа буде такою:
(7.42)
називається визначником Якобі, або якобіаном.
то виконується формула:
(7.43)
A Z
f
U
gdOh9
.
0
P
R
R
T
V
ae
o
Z\fprtv??1/43/4II??oooeuethc
¤
Ae
AE
E
E
-E
Ue
TH
th
&
$
&
&
F
&
$
$
$
$
&
gdOh9
j
j„
$
$
O
$
j
лами
(7.44)
якобіан переходу буде таким:
(7.45)
У цьому випадку формула (7.43) матиме такий вигляд:
(7.46)
.
Рис. 7.28
Приклад. Обчислити:
.
.
З урахуванням формули (7.46) маємо:
Поняття криволінійних
інтегралів першого та другого роду
по області, що є дугою деякої кривої лінії, утворивши відповідні
інтегральні суми.
Криволінійний інтеграл першого роду.
.
Означення. Вираз виду
(7.47)
називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує
і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від
вибору на них точок Mi.
Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, інтеграл (7.47) можна
обчислити за такою формулою:
(7.48)
формула (7.48) набирає вигляду:
(7.49)
Зауваження. Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму
шляху інтегрування.
.
(рис. 7.29).
Рис. 7.29
Криволінійний інтеграл другого роду.
, яку пробігає х, змінюючись від а до b, то криволінійний інтеграл
другого роду має такий вигляд:
(7.50)
).
.
,
, обхід якої здійснюється проти годинникової стрілки. Отже, за формулою
(7.50) маємо:
Інтеграли, що залежать від параметра
; тоді інтеграл виду
, тобто правило диференціювання інтеграла, що залежить від параметра,
встановлюється такою теоремою:
неперервна у прямокутній області D, то виконується формула
(7.51)
Більш загальний випадок, коли межі інтегрування також залежать від
параметра у:
,
визначається такою теоремою:
— диференційовні і їхні графіки не виходять за межі області D, то
справджується така формула:
Щоб розпочати застосування формули (7.51) на випадок невласних
інтегралів, введемо поняття рівномірної збіжності відносно параметра
невласних інтегралів.
І. Нескінченний проміжок інтегрування.
невласний інтеграл:
. (7.52)
виконується нерівність
.
, що визначена в такій області D:
.
виконується формула:
(7.53)
ІІ. Інтеграл від розривної функції.
має розрив 2-го роду; при цьому існує інтеграл
. (7.54)
виконується нерівність
.
, що визначена в такій області D:
.
виконується формула
невизначена.
Гамма-функція
Інтеграл Ейлера другого роду
(7.55)
такі:
.
неперервна і має неперервні похідні будь-якого порядку.
за теоремами 7.16, 7.17 відповідно мають вигляд:
,
.
3. Застосувавши інтегрування частинами до інтеграла (7.55) дістанемо:
Отже, виконується формула
(7.56)
Після п-кратного застосування формули (7.56) дістанемо:
(7.57)
Враховуючи, що
, (7.58)
набирає вигляду
(7.59)
має мінімум.
ЛІТЕРАТУРА
Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. — М.: Наука, 1988. — 240 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. — М.: Наука, 1988. — 432 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения, интегралы,
ряды, функции комплексного переменного. — М.: Наука, 1989. — 464 с.
Овчинников П. Ф., Яремчук Ф. П., Михайленко В. М. Высшая математика. —
К.: Вища шк., 1987. — 552 с.
Пак В. В., Носенко Й. Л. Вища математика. — К.: Либідь, 1996. — 440 с.
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. — Т. 1, 2. —
М.: Наука, 1985. — 580 с., 602 с.
Збірник задач з вищої математики / За ред. Ф. С.Гудименка. — К.: КУ,
1967. — 352 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии. — М.: Наука,
1986. — 224 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1975. — 416 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу (для вузов) / Под ред. Б.
П. Демидовича. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
Стрижак Т. Г., Коновалова Н. Р. Математический анализ. — К.: Либідь,
1995. — 240 с.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
