UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75838
останнє поновлення: 2016-12-03
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння першого порядку (реферат)
АвторPetya
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4206
Скачало387
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Диференціальні рівняння першого порядку

 

Основні поняття

 

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить

похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається

порядком диференціального рівняння.

 

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

 

 

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо

позначення ДР.

 

— ДР третього порядку.

 

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

 

Приклад. Рівняння з частинними похідними

 

 

має розв’язок

 

 

який називається функцією Кобба—Дугласа.

 

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві

рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі

рівняння називаються звичайними.

 

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна

записати рівнянням

 

(8.1)

 

Це — ДР рівняння, що не розв’язане відносно похідної. Якщо рівняння

(8.1) можна розв’язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у

вигляді

 

. (8.2)

 

.

 

, тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

 

(8.3)

 

називається інтегральною кривою.

 

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача

інтегрування ДР

 

 

і має розв’язок

 

 

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

 

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

 

.

 

 

, де С — довільний параметр.

 

Задача Коші

 

.

 

, що задовольняє умови

 

(8.4)

 

називаються початковими значеннями.

 

Теорема існування та єдиності розв’язків

 

неперервна в області D і задовольняє в області D умову Ліпшиця:

 

(8.5)

 

.

 

.

 

Умови (8.5) можна замінити іншою умовою:

 

(8.6)

 

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються

особливими. Розв’язок ДР називається особливим, коли всі точки на

розв’язку особливі.

 

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

 

 

є особливою точкою ДР.

 

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки

(рис. 8.1).

 

 

Рис. 8.1

 

 

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

 

.

 

при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв’язком.

 

 

( Справді, маємо тотожність:

 

 

знаходимо значення довільної сталої С

 

 

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загальний

розв’язок називається розв’язком у формі Коші.

 

у формі Коші.

 

 

то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

 

Розв’яжемо диференціальне рівняння

 

 

Рівняння можна записати у вигляді

 

 

 

Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають

дискримінантними кривими.

 

 

( Його можна записати у вигляді

 

 

 

 

 

Дискримінантна крива y = 0 є розв’язком ДР, але не є частинним

розв’язком. Цей особливий розв’язок можна було знайти

 

має розрив при

 

y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 8.2.

 

 

Рис. 8.2

 

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

 

 

знаходимо дискримінантну криву

 

х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР

-----> Page:

0 [1] [2] [3] [4]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ